Problema 5 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
.
Passo 1
Estamos com a função f(t)=cos(3t) e o objetivo é encontrar sua transformada de Laplace pela definição integral. Vamos usar conceitos básicos de Laplace e integração por partes.
Passo 2
A definição de transformada de Laplace de uma função f(t) é
e ela converge se
.
Passo 3
Substituindo f(t)=cos(3t), definimos
Passo 4
Aplicamos integração por partes em I(s): escolhemos
e
. Então
e
. Os termos de fronteira em 0 e
são nulos para
. Ficamos com
Passo 5
Para
fazemos outra integração por partes:
, dando
e
. Novamente os limites anulam e resulta
Passo 6
Agora temos o sistema
Substituindo J(s) em I(s) dá
Reorganizando,
Passo 7
Concluímos que a transformada de Laplace de
existe para
e vale
.