Problema 5 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=cos (3 t).

Passo 1

Estamos com a função f(t)=cos(3t) e o objetivo é encontrar sua transformada de Laplace pela definição integral. Vamos usar conceitos básicos de Laplace e integração por partes.

Passo 2

A definição de transformada de Laplace de uma função f(t) é
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt,
e ela converge se Re(s)>0.

Passo 3

Substituindo f(t)=cos(3t), definimos
I(s)=integral0^inftye^-stcos(3t),dt

Passo 4

Aplicamos integração por partes em I(s): escolhemos u=e^-st e dv=cos(3t)dt. Então du=-s e^-stdt e v=13sin(3t). Os termos de fronteira em 0 e infty são nulos para Re(s)>0. Ficamos com
I(s)=s3integral0^inftye^-stsin(3t),dt=s3J(s)

Passo 5

Para J(s)=integral0^inftye^-stsin(3t),dt fazemos outra integração por partes: u=e^-st, dv=sin(3t)dt, dando du=-s e^-stdt e v=-tfrac13cos(3t). Novamente os limites anulam e resulta
J(s)=13-s3I(s)

Passo 6

Agora temos o sistema
I(s)=s3J(s), J(s)=13-s3I(s)
Substituindo J(s) em I(s) dá
I(s)=s3l(13-s3I(s)r)=s9-s^29I(s)
Reorganizando,
I(s)l(1+s^29r)=s9Longrightarrow I(s)=ss^2+9

Passo 7

Concluímos que a transformada de Laplace de cos(3t) existe para Re(s)>0 e vale s/(s^2+9).

Resposta

Lcos(3t)(s)=ss^2+9, Re(s)>0

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