Problema 5 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=cos (2 t).

Passo 1

O exercício pede pra calcular a transformada de Laplace de f(t)=cos(2t) usando a definição. Isso faz parte do conteúdo de transformada de Laplace, e vamos precisar da definição da transformada e de técnicas de integração imprópria (integração por partes).

Passo 2

A definição de Laplace é dada por:
Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Aqui vamos usar f(t)=cos(2t), e a transformada só existe se s>0, garantindo convergência do integral.

Passo 3

Substituindo f(t) na definição, montamos o integral
Lcos(2t)(s)=integral0^inftycos(2t),e^-st,dt
Agora precisamos calcular essa integral imprópria.

Passo 4

Para resolver integral e^-stcos(2t),dt usamos integração por partes duas vezes (ou recorremos a uma tabela). O resultado da antiderivada é
integral e^-stcos(2t),dt = e^-st2sin(2t)-scos(2t)s^2+4 + C

Passo 5

Aplicando os limites de 0 a infty:
  • Quando ttoinfty, e^-stto0 (para s>0), então a parte em t=infty desaparece.
  • Em t=0, a expressão fica e^0(2sin0 - scos0)/(s^2+4)= -s/(s^2+4).
    Subtraindo (limite superior menos limite inferior) temos
0 - l(-ss^2+4r) = ss^2+4

Passo 6

Portanto, a transformada de Laplace de cos(2t) é s/(s^2+4), válida para s>0.

Resposta

ss^2+4, s>0

Exercícios relacionados