Problema 5 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
.
Passo 1
O exercício pede pra calcular a transformada de Laplace de f(t)=cos(2t) usando a definição. Isso faz parte do conteúdo de transformada de Laplace, e vamos precisar da definição da transformada e de técnicas de integração imprópria (integração por partes).
Passo 2
A definição de Laplace é dada por:
Aqui vamos usar f(t)=cos(2t), e a transformada só existe se s>0, garantindo convergência do integral.
Passo 3
Substituindo f(t) na definição, montamos o integral
Agora precisamos calcular essa integral imprópria.
Passo 4
Para resolver
usamos integração por partes duas vezes (ou recorremos a uma tabela). O resultado da antiderivada é
Passo 5
Aplicando os limites de 0 a
:
- Quando
, (para ), então a parte em desaparece. - Em
, a expressão fica .
Subtraindo (limite superior menos limite inferior) temos
Passo 6
Portanto, a transformada de Laplace de
é
, válida para
.