Nos itens a seguir, determine para quais valores de x o trinômio é maior que zero, e para quais valores de x é menor que zero. Para isso, fatore o trinômio (ou complete os quadrados) e estude o sinal. Expresse a resposta na notação de intervalo. Observe como resolvemos a letra g). Faça o mesmo para os próximos itens.
2 x^2-x-1

Passo 1

O exercício pede para encontrar os valores de x que tornam o trinômio 2x^2 - x - 1 maior ou menor que zero, usando fatoração (ou completando quadrados). O conteúdo aqui é estudo de sinal de uma função quadrática e precisamos primeiro encontrar as raízes para poder montar o diagrama de sinais.

Passo 2

Calcular o discriminante De e as raízes. Temos
De
Logo, raizDe e as raízes são
x = -b pm raizDe
Assim,
x1 = 1-34 = -tfrac12, x2 = 1+34 = 1
Portanto o trinômio fatora como
2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)

Passo 3

Analisar o sinal de cada fator em cada intervalo definido pelas raízes:
  • Para x < -tfrac12: 2x+1<0 e x-1<0, produto positivo.
  • Para -tfrac12 < x < 1: 2x+1>0 e x-1<0, produto negativo.
  • Para x > 1: 2x+1>0 e x-1>0, produto positivo.
    Isso se baseia na regra de sinais de produto: se os dois fatores têm mesmo sinal, o produto é positivo; se têm sinais opostos, é negativo.

Passo 4

Com base no diagrama de sinais, concluímos que o trinômio é positivo fora das raízes e negativo entre elas.

Resposta

2x^2 - x - 1 > 0 para x in (-infty, -tfrac12) cup (1, infty) e 2x^2 - x - 1 < 0 para x in (-tfrac12, 1).

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