Problema 5 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=cos (4 t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=cos(4t) usando a definição. O conteúdo é transformada de Laplace e vamos precisar usar a definição integral Lf(t)=integral0^infty e^-stf(t),dt.

Passo 2

Pelo enunciado, escrevemos a definição para f(t)=cos(4t):
Lcos(4t)=integral0^infty e^-stcos(4t),dt

Passo 3

Para calcular essa integral, encontramos um antiderivado de e^-stcos(4t). Usando integração por partes dupla (ou métodos conhecidos), chega-se a:
integral e^-stcos(4t),dt = e^-stl(-scos(4t) + 4sin(4t)r)s^2 + 16

Passo 4

Agora avaliamos esse antiderivado entre 0 e +infty. Para Re(s)>0, o termo em tto+infty se anula porque e^-stto0. Em t=0, temos e^-scdot0=1, cos(0)=1, sin(0)=0, então o antiderivado vale -s/(s^2+16).
Subtraindo os valores no limite superior e no inferior obtemos
0 - l(-ss^2+16r) = ss^2+16
Logo a transformada existe para Re(s)>0 e é s/(s^2+16).

Resposta

Lcos(4t) = ss^2+16, Re(s)>0

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