Problema 6 : Em cada caso, encontre a transformada de Laplace:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a transformada de Laplace da função $ e^{2 t} t^{4} $. A matéria aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta que ajuda a resolver equações diferenciais transformando funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da transformada de Laplace para funções do tipo $ e^{a t} t^{n} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da transformada de Laplace para $ e^{a t} t^{n} $. A fórmula é:
Aqui, $ n! $ é o fatorial de $ n $, $ s $ é a variável da transformada de Laplace, e $ a $ é a constante que está exponencialmente multiplicando $ t $.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores na nossa função $ e^{2 t} t^{4} $. Aqui, $ a = 2 $ e $ n = 4 $. Vamos substituir esses valores na fórmula que a gente lembrou:
Passo 4
Vamos calcular o fatorial e simplificar a expressão. Sabemos que $ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $. Então:
Resposta
A transformada de Laplace de $ e^{2 t} t^{4} $ é: