(Problema com mais de um vínculo) Se em um problema existirem dois vínculos, digamos
S1: g(x1, x2, x3)=0 e S2: h(x1, x2, x3)=0
onde S1 cap S2=C é uma curva. Se p0=(x0, y0, z0) in C é um ponto de extremo local de f(x1, x2, x3), então existem lambda1 e lambda2 tais que
nabla f(p0)=lambda1 nabla g(p0)+lambda2 nabla h(p0)
onde
nabla g(p0) times nabla h(p0) neq 0
Responda: O plano x+4 y+z=1 corta o cilindro x^2+y^2=1 em uma elipse. Encontre os pontos na elipse que estão o mais próximo e o mais distante da origem.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva de interseção entre o cilindro
S1:;x^2+y^2=1
e o plano
S2:;x+4y+z=1
que estão mais próximos e mais distantes da origem em R^3.
Para isso, vamos minimizar e maximizar a função distância ao quadrado
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
sujeita aos dois vínculos g(x,y,z)=x^2+y^2-1=0 e h(x,y,z)=x+4y+z-1=0, usando multiplicadores de Lagrange com dois vínculos.

Passo 2

Definimos
nabla f=(2x,2y,2z), nabla g=(2x,2y,0), nabla h=(1,4,1)
Pelas condições de Lagrange, existem lambda1,lambda2 tais que
nabla f=lambda1,nabla g+lambda2,nabla h,
isto é,
2x = 2lambda1,x + lambda2,[6pt] 2y = 2lambda1,y + 4lambda2,[6pt] 2z = 0cdotlambda1 + lambda2
Junto com os vínculos
x^2+y^2=1, x+4y+z=1
]

Passo 3

Da terceira equação obtemos
lambda2=2z
Substituindo em
2x=2lambda1x+2z Longrightarrow x(1-lambda1)=z,
2y=2lambda1y+8z Longrightarrow y(1-lambda1)=4z
Logo, se 1-lambda1neq0,
x=z1-lambda1, y=4z1-lambda1
Usando ainda x+4y+z=1, temos
z1-lambda1+16z1-lambda1+z=1 Longrightarrow z=1-lambda118-lambda1
Daí
x=118-lambda1, y=418-lambda1, z=1-lambda118-lambda1

Passo 4

Impondo x^2+y^2=1 resulta
1+16(18-lambda1)^2=1 Longrightarrow (18-lambda1)^2=17 Longrightarrow lambda1=18pmraiz17
Isso gera dois pontos:
lambda1=18-raiz17 ;Longrightarrow; l(x,y,zr)=l(tfrac1raiz17,,tfrac4raiz17,,1-raiz17r),
lambda1=18+raiz17 ;Longrightarrow; l(x,y,zr)=l(-tfrac1raiz17,,-tfrac4raiz17,,1+raiz17r)

Passo 5

Como x^2+y^2=1, a distância ao quadrado é
r^2=1+z^2
Para z=1-raiz17 temos
r^2=1+(1-raiz17)^2=19-2raiz17,
menor que
19+2raiz17=1+(1+raiz17)^2
obtido em z=1+raiz17. Portanto o primeiro ponto é o mais próximo e o segundo o mais distante.

Resposta

Ponto mais próximo da origem:
l(tfrac1raiz17,;tfrac4raiz17,;1-raiz17r)
Ponto mais distante da origem:
l(-tfrac1raiz17,;- tfrac4raiz17,;1+raiz17r)

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