(Problema com mais de um vínculo) Se em um problema existirem dois vínculos, digamos
onde
é uma curva. Se
é um ponto de extremo local de
, então existem
e
tais que
onde
Responda: O plano
corta o cilindro
em uma elipse. Encontre os pontos na elipse que estão o mais próximo e o mais distante da origem.
Passo 1
O enunciado pede os pontos da curva de interseção entre o cilindro
e o plano
que estão mais próximos e mais distantes da origem em
.
Para isso, vamos minimizar e maximizar a função distância ao quadrado
Para isso, vamos minimizar e maximizar a função distância ao quadrado
sujeita aos dois vínculos
e
, usando multiplicadores de Lagrange com dois vínculos.
Passo 2
Definimos
Pelas condições de Lagrange, existem
tais que
isto é,
Junto com os vínculos
]
Passo 3
Da terceira equação obtemos
Substituindo em
Logo, se
1-lambda1neq0 ,
Usando ainda
x+4y+z=1 , temos
Daí
Passo 4
Impondo
x^2+y^2=1 resulta
Isso gera dois pontos:
Passo 5
Como
x^2+y^2=1 , a distância ao quadrado é
Para
z=1-raiz17 temos
menor que
obtido em
z=1+raiz17 . Portanto o primeiro ponto é o mais próximo e o segundo o mais distante.
Resposta
Ponto mais próximo da origem:
Ponto mais distante da origem: