Para o problema
y^{\prime}=\frac{y}{x}, \quad y(1)=2
verifique as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade. Determine o maior intervalo de existência e unicidade.

Passo 1

O enunciado trata da EDO de primeira ordem
y'=\frac{y}{x},\qquad y(1)=2
e pede para verificar as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) e então achar o maior intervalo em x onde a solução existe e é única. Para isso vamos precisar checar se a função
f(x,y)=\frac{y}{x}
e sua derivada parcial em relação a y são contínuas num retângulo que contenha o ponto inicial (1,2).

Passo 2

Identificamos
f(x,y)=\frac{y}{x} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{1}{x}.
Ambas as funções têm única singularidade quando x=0, mas são contínuas sempre que x\neq0.

Passo 3

Para aplicar o teorema, escolhemos um retângulo que contenha (1,2) e fique afastado de x=0. Por exemplo,
R=\{(x,y)\mid 0<x<2,\;1<y<3\}.
Em R, tanto f(x,y) quanto \partial f/\partial y são contínuas. Dessa forma f satisfaz a condição de Lipschitz em y num vizinhança de (1,2), garantindo existência e unicidade local da solução.

Passo 4

O teorema vale em toda região conectada onde f e \partial f/\partial y são contínuas, isto é, no domínio de f:
\{(x,y)\mid x\neq0\} \;=\;(-\infty,0)\times\mathbb{R}\;\cup\;(0,\infty)\times\mathbb{R}.
Como a condição inicial está em x=1, a componente conexa de interesse é
0<x<\infty.

Resposta

O maior intervalo de existência e unicidade da solução, em x, é
(0,\infty).

Exercícios relacionados