Para o problema
verifique as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade. Determine o maior intervalo de existência e unicidade.
Passo 1
O enunciado trata da EDO de primeira ordem
e pede para verificar as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade (Picard–Lindelöf) e então achar o maior intervalo em
onde a solução existe e é única. Para isso vamos precisar checar se a função
e sua derivada parcial em relação a
são contínuas num retângulo que contenha o ponto inicial
.
Passo 2
Identificamos
Ambas as funções têm única singularidade quando
, mas são contínuas sempre que
.
Passo 3
Para aplicar o teorema, escolhemos um retângulo que contenha
e fique afastado de
. Por exemplo,
Em
, tanto
quanto
são contínuas. Dessa forma
satisfaz a condição de Lipschitz em
num vizinhança de
, garantindo existência e unicidade local da solução.
Passo 4
O teorema vale em toda região conectada onde
e
são contínuas, isto é, no domínio de
:
Como a condição inicial está em
, a componente conexa de interesse é
Resposta
O maior intervalo de existência e unicidade da solução, em
, é