Resolva o PVI:
\left(3 x^{2}+y\right) d x+(x+2 y) d y=0, \quad y(1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
\bigl(3x^{2}+y\bigr)\,dx + \bigl(x+2y\bigr)\,dy = 0, \quad y(1)=1.
Isso é uma EDO de primeira ordem. Vamos reconhecer que é uma equação exata e usar o método de função potencial.

Passo 2

Chamando
M(x,y)=3x^{2}+y, \quad N(x,y)=x+2y,
verificamos a exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=1,
como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x,y)=3x^{2}+y.
Integrando em x:
\psi(x,y)=\int\bigl(3x^{2}+y\bigr)\,dx = x^{3}+x\,y + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Impondo
\frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x,y)=x+2y
temos
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}+xy+h(y)\bigr) = x + h'(y) = x+2y,
logo
h'(y)=2y \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y^{2}.

Passo 5

A solução geral implícita fica
\psi(x,y)=x^{3}+x\,y + y^{2}=C.

Passo 6

Usando y(1)=1:
1^{3}+1\cdot1+1^{2}=3,
logo C=3. A solução particular é
x^{3}+x\,y+y^{2}=3.

Passo 7

Para escrever y de forma explícita, resolvemos
y^{2}+x\,y+(x^{3}-3)=0
pela fórmula de Bhaskara:
y =\frac{-x\pm\sqrt{x^{2}-4(x^{3}-3)}}{2} =\frac{-x\pm\sqrt{x^{2}-4x^{3}+12}}{2}.
Como y(1)=1, escolhemos o sinal “ +” na raiz.

Resposta

y(x) =\frac{-x+\sqrt{x^{2}-4x^{3}+12}}{2}.

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