Verifique se o Teorema de Existência e Unicidade garante solução única. Discuta.
Passo 1
O problema é o PVI
y' = \sqrt{y},\quad y(0)=0,
e o que queremos é verificar as hipóteses do Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf, que pede:
f(t,y)=\sqrt{y} deve ser contínua numa vizinhança de (0,0), e
f deve ser Lipschitz em y nessa vizinhança.
Passo 2
Para a existência, basta checar continuidade de f. Como \sqrt{y} é contínua para y\ge0, existe uma vizinhança de (0,0) no semi-plano y\ge0 em que f é contínua. Logo, o teorema garante pelo menos uma solução local passando por (0,0).
Passo 3
Para a unicidade, precisaríamos de uma constante L tal que
\bigl|\sqrt{y_1}-\sqrt{y_2}\bigr|\le L\,|y_1-y_2|
para todos y_1,y_2 numa vizinhança de 0. Equivalente é exigir que
fique uniformemente limitada perto de y=0. Mas \tfrac1{2\sqrt{y}}\to\infty quando y\to0^+, então não existe L<\infty. Assim, f não é Lipschitz em y perto de 0, e o teorema não assegura unicidade.
Passo 4
De fato, podemos construir várias soluções que satisfazem o mesmo PVI:
A solução trivial
y(t)\equiv0
Uma outra solução clássica
y(t)=\bigl(\tfrac t2\bigr)^2,\quad t\ge0,
que também satisfaz y(0)=0 e y'=\sqrt{y}.
Mais ainda, podemos “colar” as duas: fixe qualquer a>0 e defina
y(t)= \begin{cases} 0,&0\le t\le a,\\\ \bigl(\tfrac{t-a}2\bigr)^2,&t\ge a, \end{cases}
e isso também resolve o PVI. Logo há infinitas soluções.
Resposta
O Teorema de Existência garante ao menos uma solução, mas como f(t,y)=\sqrt{y} não é Lipschitz em y perto de 0, o teorema não assegura unicidade. De fato, existem múltiplas soluções para o mesmo PVI.