Considere
Discuta a aplicabilidade do Teorema de Existência e Unicidade no ponto inicial e determine o intervalo de validade.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede para discutir a aplicabilidade do Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf no ponto inicial
e, em seguida, determinar o maior intervalo de validade da solução. Vamos usar que, para um problema
basta que
e
sejam contínuas numa vizinhança de
.
Passo 2
Identificamos
O único ponto em que
deixa de estar bem definido (e de ser contínua) é
, pois o denominador se anula. Logo,
é contínua em qualquer região que não contenha
. Em particular, em torno de
podemos escolher, por exemplo, um retângulo
com
, onde
em todo
. Assim
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Esse termo também é contínuo sempre que
. Portanto, em qualquer retângulo em torno de
que não atinja
, tanto
quanto
são contínuos. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução passando por
em algum intervalo aberto contendo
, mas que não abranja
.
Passo 4
Para achar o maior intervalo de validade, observamos que a única barreira para estender a solução é o ponto
. Como a condição inicial está em
, podemos prolongar a solução para todo
, mas não atravessá-la. Logo, o maior intervalo aberto que contém
e não atinge a singularidade em
é
Resposta
A hipótese do Teorema de Existência e Unicidade se satisfaz em
porque
e
são contínuas sempre que
. O maior intervalo de validade da solução que contém
é