Considere
y^{\prime}=\frac{x+y}{x-1}, \quad y(0)=0
Discuta a aplicabilidade do Teorema de Existência e Unicidade no ponto inicial e determine o intervalo de validade.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y' = \frac{x + y}{x - 1},\quad y(0)=0,
e pede para discutir a aplicabilidade do Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf no ponto inicial (0,0) e, em seguida, determinar o maior intervalo de validade da solução. Vamos usar que, para um problema
y' = f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,
basta que f e \partial f/\partial y sejam contínuas numa vizinhança de (x_0,y_0).

Passo 2

Identificamos
f(x,y) = \frac{x + y}{x - 1}.
O único ponto em que f deixa de estar bem definido (e de ser contínua) é x=1, pois o denominador se anula. Logo, f é contínua em qualquer região que não contenha x=1. Em particular, em torno de (0,0) podemos escolher, por exemplo, um retângulo
R = \{(x,y)\mid |x| \le a,\;|y|\le b\}
com a<1, onde x-1\neq 0 em todo R. Assim f é contínua em R.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{x+y}{x-1}\Bigr) = \frac{1}{x-1}.
Esse termo também é contínuo sempre que x\neq1. Portanto, em qualquer retângulo em torno de (0,0) que não atinja x=1, tanto f quanto \partial f/\partial y são contínuos. Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução passando por (0,0) em algum intervalo aberto contendo x=0, mas que não abranja x=1.

Passo 4

Para achar o maior intervalo de validade, observamos que a única barreira para estender a solução é o ponto x=1. Como a condição inicial está em x=0<1, podemos prolongar a solução para todo x<1, mas não atravessá-la. Logo, o maior intervalo aberto que contém 0 e não atinge a singularidade em x=1 é
(-\infty,\,1).

Resposta

A hipótese do Teorema de Existência e Unicidade se satisfaz em (0,0) porque f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas sempre que x\neq1. O maior intervalo de validade da solução que contém x=0 é
(-\infty,\,1).

Exercícios relacionados