Problema12

Cinco objetos com pesos inteiros e distintos foram colocados em uma caixa. A média aritmética dos pesos é 8 kg .
Sabendo que o objeto mais pesado pesa 14 kg , qual é o maior valor possível que pode ter o objeto mais leve?
(A) 5
(B) 4
C 2
(D) 1
(E) 0

Passo 1

O enunciado diz que temos cinco objetos com pesos inteiros distintos cuja média aritmética é 8 kg. Logo, a soma dos cinco pesos é
5 times 8 = 40 kg
Sabe-se também que o objeto mais pesado pesa 14 kg. Precisamos achar o maior valor possível para o peso do objeto mais leve.

Passo 2

Se o maior pesa 14 kg, a soma dos outros quatro pesos é
40 - 14 = 26 kg
Denotemos por L o peso do objeto mais leve. Como todos os pesos são inteiros e distintos, os três objetos imediatamente acima de L podem ser L+1, L+2 e um quarto peso X. Assim,
L + (L+1) + (L+2) + X = 26

Passo 3

Da soma acima isolamos X:
3L + 3 + X = 26 Longrightarrow X = 23 - 3L
Para manter a ordem crescente e a distinção dos pesos, devemos ter
L < L+1 < L+2 < X < 14

Passo 4

Impondo L+2 < X:
L+2 < 23 - 3L Longrightarrow 4L < 21 Longrightarrow L < 5,25 Longrightarrow L <= 5
Impondo X < 14:
23 - 3L < 14 Longrightarrow -3L < -9 Longrightarrow L > 3 Longrightarrow L >= 4
Logo, L pode ser 4 ou 5.

Passo 5

Testando L=5:
X = 23 - 3cdot5 = 8,
resultando na sequência de pesos
5,;6,;7,;8,;14
que é válida. Para L=4 obteríamos sequência
4,;5,;6,;11,;14
e o mínimo seria 4, menor que 5. Portanto, o maior valor possível para o mais leve é 5.

Resposta

5

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