Confirme que o campo de forças F é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos Pe Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de P até Q ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
18.3. F(x, y)=(4 y z^2-5) i+4 x z^2 j+8 x y z k ; P(0,2,1), Q(1,1,0)

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
F(x,y,z) = (4yz^2 - 5),i + 4xz^2,j + 8xyz,k
e pede para (1) confirmar que ele é conservativo numa região aberta conexa contendo P(0,2,1) e Q(1,1,0) e (2) calcular o trabalho de P a Q ao longo de qualquer curva lisa. Vamos usar o fato de que em regiões simplesmente conexas, um campo vetorial é conservativo se e somente se o seu rotacional for nulo, e depois encontrar uma função potencial phi tal que nablaphi=F, para então usar
W=phi(Q)-phi(P)

Passo 2

Calculamos o rotacional de F:
nabla times F =l(tfracpartial F3partial y-tfracpartial F2partial z,; tfracpartial F1partial z-tfracpartial F3partial x,; tfracpartial F2partial x-tfracpartial F1partial yr)
Aqui F1=4yz^2-5, F2=4xz^2, F3=8xyz.
Calculando cada componente:
tfracpartial F3partial y=8xz, tfracpartial F2partial z=8xz ;Longrightarrow;(nablatimesF)1=0,
tfracpartial F1partial z=8yz, tfracpartial F3partial x=8yz ;Longrightarrow;(nablatimesF)2=0,
tfracpartial F2partial x=4z^2, tfracpartial F1partial y=4z^2 ;Longrightarrow;(nablatimesF)3=0

Passo 3

Como nablatimesF=0 em todo R^3, que é aberto e simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo nessa região, e portanto existe potencial phi(x,y,z).

Passo 4

Para achar phi, integramos F1 em relação a x:
phi(x,y,z) = integral (4yz^2 -5),dx = (4yz^2 -5),x + g(y,z)
Depois exigimos partialphi/partial y = F2:
partialphipartial y = 4xz^2 + partial gpartial y stackrel!=4xz^2 ;Longrightarrow;partial gpartial y=0 ;Longrightarrow;g(y,z)=h(z)
Então exigimos partialphi/partial z = F3:
partialphipartial z=8xyz + h'(z)stackrel!=8xyz ;Longrightarrow;h'(z)=0 ;Longrightarrow;h(z)=const
Logo podemos escolher
phi(x,y,z)=4xyz^2 -5x
(ignoro a constante pois ela se cancela no trabalho).

Passo 5

O trabalho de P a Q é
W = phi(Q)-phi(P)
Calculando:
phi(1,1,0)=4cdot1cdot1cdot0^2 -5cdot1 = -5, phi(0,2,1)=4cdot0cdot2cdot1^2 -5cdot0 = 0
Logo
W = (-5)-0 = -5

Resposta

O campo é conservativo em todo R^3 e o trabalho de P a Q vale -5.

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