Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos Pe Q e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças em uma partícula que se move de
até
ao longo de uma curva lisa arbitrária na região de P até Q .
18.3.
18.3.
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças
e pede para (1) confirmar que ele é conservativo numa região aberta conexa contendo
e
e (2) calcular o trabalho de
a
ao longo de qualquer curva lisa. Vamos usar o fato de que em regiões simplesmente conexas, um campo vetorial é conservativo se e somente se o seu rotacional for nulo, e depois encontrar uma função potencial
tal que
, para então usar
Passo 2
Calculamos o rotacional de
:
Aqui
,
,
.
Calculando cada componente:
Calculando cada componente:
Passo 3
Como
em todo
, que é aberto e simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo nessa região, e portanto existe potencial
.
Passo 4
Para achar
, integramos
em relação a
:
Depois exigimos
:
Então exigimos
:
Logo podemos escolher
(ignoro a constante pois ela se cancela no trabalho).
Passo 5
O trabalho de
a
é
Calculando:
Logo
Resposta
O campo é conservativo em todo
e o trabalho de
a
vale
.