Nos problemas de 01 a 09 Encontre a solução geral para a equação diferncial dada, determine o intervalo na qual a solução geral é definida:
d yd x=7 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é dia aquela do tipo . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as que são separáveis. Isso significa que a gente consegue separar as variáveis e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. A equação é 1y , dy = 7 , dx . Queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Assim, dividimos ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados dessa equação. A integral de ln|y| = 7x + C é e a integral de é . Então temos:
Onde é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para y = e^7x + C , vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial nos dois lados:
y = C' e^7x
Lembrando que y = C e^7x é apenas outra constante, que podemos chamar de . Então isso simplifica para:
Podemos renomear de volta para para simplificar:

Resposta

A soluç��o geral da equação diferencial é , e ela está definida para todo número real , ou seja, para .

Exercícios relacionados