(2.5 pontos) Encontre as superfícies de nível da função
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as superfícies de nível da função f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2. O conteúdo aqui é superfícies de nível de uma função de três variáveis, e vamos precisar usar a definição de nível f(x,y,z)=c para diferentes valores de c.

Passo 2

Para cada valor real c, escrevemos a equação de nível igualando f(x,y,z) a c. Assim, temos:
x^2 + y^2 + z^2 = c Essa equação é exatamente a forma padrão de uma esfera centrada na origem (0,0,0) no espaço R^3, cujo raio é dado por r = raizc.

Passo 3

Agora basta analisar os valores de c: para c>0 obtemos uma esfera de raio raizc, para c=0 a “esfera” degenera num ponto na origem, e para c<0 não existe ponto real que satisfaça a equação.

Resposta

Para cada nível c, a superfície de nível f(x,y,z)=c é:
– Se c>0, a esfera centrada na origem de raio raizc.
– Se c=0, o ponto (0,0,0).
– Se c<0, não há superfície de nível real.

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