Nos problemas 10 a 16, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
y^prime prime-y=0 ; y(0)=1 e y^prime(0)=1

Passo 1

Temos a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - y = 0
Sujeita às condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 1. Vamos usar o método da equação característica de EDOs com coeficientes constantes.

Passo 2

Para obter a solução geral, montamos a equação característica associada:
r^2 - 1 = 0
As raízes são r = 1 e r = -1, de modo que a solução geral é
y(x) = C1 e^x + C2 e^-x .

Passo 3

Derivamos a solução geral para expressar y':
y'(x) = C1 e^x - C2 e^-x
Agora aplicamos as condições iniciais em x=0:
y(0) = C1 + C2 = 1,
y'(0) = C1 - C2 = 1
Somando as duas equações, obtemos 2C1 = 2 logo C1 = 1. Subtraindo, vem 2C2 = 0 então C2 = 0.

Resposta

y(x) = e^x

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