Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada
é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine
, a conjugada harmônica de
, e (c) Forme a correspondente função analítica
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede três coisas:
- (a) provar que
é harmônica em um domínio apropriado ; - (b) determinar uma conjugada harmônica
de ; - (c) formar a função analítica correspondente
.
Informações relevantes que o enunciado dá (resumindo o que podemos usar):
-
é a composição de com , logo exige para estar bem definida por essa fórmula. - Para obter uma conjugada harmônica e a função analítica associada, usaremos as equações de Cauchy–Riemann e a definição de função harmônica (Laplaciano nulo).
Passo 2
Escolha do domínio
onde trabalhar: a fórmula
exige
. Além disso, para garantir continuidade suave (sem saltos de ramo do argumento), é conveniente trabalhar em um dos semi-planos conectados onde
tem sinal fixo. Uma escolha natural e simples é
isto é, o semiplano direito. Nesse domínio a função
é suave e
representa o argumento sem necessidade de correção por
. (Em qualquer outro domínio simplesmente conexo que não corte a reta
a análise é análoga, podendo mudar por constantes.)
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de
com cuidado (usando regra da cadeia). Defina
. Então
.
Primeiro calculemos
e
:
Aplicando a cadeia, lembrando que
, obtemos
Estas fórmulas são válidas em
(onde
e claramente
).
Passo 4
Agora calculamos as derivadas segundas para avaliar o Laplaciano
.
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Derivando
em relação a
(tratando
como constante):
Somando:
Portanto
em
. Conclusão:
é harmônica em qualquer domínio onde
(em particular no semiplano direito
).
Passo 5
Agora vamos procurar uma conjugada harmônica
. Lembrete didático rápido: se
é holomorfa em um domínio, então
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
Como já temos
e
, podemos integrar essas relações para achar
. Observação importante: existência local de
está garantida porque
é harmônica e o domínio escolhido é simplesmente conexo (o semiplano direito), então existe conjugada global até constante aditiva.
Passo 6
Use as equações de Cauchy–Riemann. De
segue
De
segue
Integramos a equação para
em relação a
:
Fazendo a integral (é útil lembrar que
), obtemos
onde
é uma função a determinar.
Agora derivamos essa expressão em relação a
:
Comparando com a condição
vemos que
. Logo
é constante. Assim, uma conjugada harmônica é
onde
é constante real arbitrária (podemos escolher
para simplicidade).
Passo 7
Verificação rápida (confirmação): calcular
e
a partir da expressão encontrada e checar as equações de Cauchy–Riemann:
que coincide com as exigidas. Portanto
é de fato uma conjugada harmônica de
(em
).
Passo 8
Forma da função analítica
. Juntando
e
obtemos
Há uma interpretação compacta usando o logaritmo complexo: para
com
(domínio escolhido) vale a relação
onde
no semiplano direito. Multiplicando por
,
Portanto, escolhendo
, a função analítica pode ser escrita elegantemente como
no domínio onde a escolha do argumento coincide com
(por exemplo
). Se mantivermos a constante
, então
.
Passo 9
Observações finais e lembretes práticos para prova:
- A verificação de harmonicidade é sempre feita calculando
. Não esquecer verificar onde as derivadas existem (aqui e ). - Para achar a conjugada, usar as equações de Cauchy–Riemann e integrar; checar consistência (derivando a solução obtida).
- Ficar atento a domínios/salitamento de ramo do argumento: normalmente escolhe-se um domínio simplesmente conexo onde
representa o argumento sem ambiguidades (por exemplo ).
Resposta
(a)
(ou, mais geralmente, qualquer domínio simplesmente conexo que não corte a reta
);\n(b)
(constante
);\n(c)
, que, escolhendo
, equivale a
no domínio indicado.