Nos problemas 1 - 10 (a) comprove que a função dada \mathcal{U} é harmônica em domínio apropriado D , (b) Determine \mathcal{U}(x, y), a conjugada harmônica de \mathcal{U}, e (c) Forme a correspondente função analítica f(z)=U+i v
U(x, y)=\arctan \left(-\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \mathcal{U} definida por
\mathcal{U}(x,y)=\arctan\!\left(-\frac{y}{x}\right),
e pede três coisas:
  • (a) provar que \mathcal{U} é harmônica em um domínio apropriado D;
  • (b) determinar uma conjugada harmônica \mathcal{V}(x,y) de \mathcal{U};
  • (c) formar a função analítica correspondente f(z)=\mathcal{U}+i\mathcal{V}.
Informações relevantes que o enunciado dá (resumindo o que podemos usar):
  • \mathcal{U} é a composição de -\arctan(t) com t=\dfrac{y}{x}, logo exige x\neq0 para estar bem definida por essa fórmula.
  • Para obter uma conjugada harmônica e a função analítica associada, usaremos as equações de Cauchy–Riemann e a definição de função harmônica (Laplaciano nulo).

Passo 2

Escolha do domínio D onde trabalhar: a fórmula \arctan\!\left(-\dfrac{y}{x}\right) exige x\neq0. Além disso, para garantir continuidade suave (sem saltos de ramo do argumento), é conveniente trabalhar em um dos semi-planos conectados onde x tem sinal fixo. Uma escolha natural e simples é
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x>0\},
isto é, o semiplano direito. Nesse domínio a função t=y/x é suave e \arctan(t) representa o argumento sem necessidade de correção por \pi. (Em qualquer outro domínio simplesmente conexo que não corte a reta x=0 a análise é análoga, podendo mudar por constantes.)

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais primeiras de \mathcal{U} com cuidado (usando regra da cadeia). Defina t=\dfrac{y}{x}. Então \mathcal{U}(x,y)=-\arctan(t).
Primeiro calculemos \dfrac{\partial t}{\partial x} e \dfrac{\partial t}{\partial y}:
\frac{\partial t}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right)=-\frac{y}{x^2},\qquad \frac{\partial t}{\partial y}=\frac{1}{x}.
Aplicando a cadeia, lembrando que \dfrac{d}{dt}\arctan t=\dfrac{1}{1+t^2}, obtemos
\mathcal{U}_x = -\frac{1}{1+t^2}\cdot\frac{\partial t}{\partial x} = -\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) = \frac{y}{x^2+y^2},
\mathcal{U}_y = -\frac{1}{1+t^2}\cdot\frac{\partial t}{\partial y} = -\frac{1}{1+(y/x)^2}\cdot\frac{1}{x} = -\frac{x}{x^2+y^2}.
Estas fórmulas são válidas em D (onde x>0 e claramente x^2+y^2>0).

Passo 4

Agora calculamos as derivadas segundas para avaliar o Laplaciano \Delta \mathcal{U}=\mathcal{U}_{xx}+\mathcal{U}_{yy}.
Derivando \mathcal{U}_x=\dfrac{y}{x^2+y^2} em relação a x (tratando y como constante):
\mathcal{U}_{xx} = y\cdot\frac{d}{dx}\left((x^2+y^2)^{-1}\right) = y\cdot\left(-1\right)\cdot\frac{2x}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.
Derivando \mathcal{U}_y=-\dfrac{x}{x^2+y^2} em relação a y (tratando x como constante):
\mathcal{U}_{yy} = -x\cdot\frac{d}{dy}\left((x^2+y^2)^{-1}\right) = -x\cdot\left(-1\right)\cdot\frac{2y}{(x^2+y^2)^2} = \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}.
Somando:
\mathcal{U}_{xx}+\mathcal{U}_{yy} = -\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}+\frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}=0.
Portanto \Delta\mathcal{U}=0 em D. Conclusão: \mathcal{U} é harmônica em qualquer domínio onde x\neq0 (em particular no semiplano direito x>0).

Passo 5

Agora vamos procurar uma conjugada harmônica \mathcal{V}(x,y). Lembrete didático rápido: se f=\mathcal{U}+i\mathcal{V} é holomorfa em um domínio, então \mathcal{U} e \mathcal{V} satisfazem as equações de Cauchy–Riemann:
\mathcal{U}_x = \mathcal{V}_y,\qquad \mathcal{U}_y = -\mathcal{V}_x.
Como já temos \mathcal{U}_x e \mathcal{U}_y, podemos integrar essas relações para achar \mathcal{V}. Observação importante: existência local de \mathcal{V} está garantida porque \mathcal{U} é harmônica e o domínio escolhido é simplesmente conexo (o semiplano direito), então existe conjugada global até constante aditiva.

Passo 6

Use as equações de Cauchy–Riemann. De \mathcal{U}_x=\dfrac{y}{x^2+y^2} segue
\mathcal{V}_y=\frac{y}{x^2+y^2}.
De \mathcal{U}_y=-\dfrac{x}{x^2+y^2} segue
\mathcal{V}_x=\frac{x}{x^2+y^2}.
Integramos a equação para \mathcal{V}_x em relação a x:
\mathcal{V}(x,y)=\int \frac{x}{x^2+y^2}\,dx.
Fazendo a integral (é útil lembrar que \dfrac{d}{dx}\ln(x^2+y^2)=\dfrac{2x}{x^2+y^2}), obtemos
\mathcal{V}(x,y)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.
Agora derivamos essa expressão em relação a y:
\mathcal{V}_y=\frac{1}{2}\cdot\frac{2y}{x^2+y^2}+g'(y)=\frac{y}{x^2+y^2}+g'(y).
Comparando com a condição \mathcal{V}_y=\dfrac{y}{x^2+y^2} vemos que g'(y)=0. Logo g é constante. Assim, uma conjugada harmônica é
\mathcal{V}(x,y)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C,
onde C é constante real arbitrária (podemos escolher C=0 para simplicidade).

Passo 7

Verificação rápida (confirmação): calcular \mathcal{V}_x e \mathcal{V}_y a partir da expressão encontrada e checar as equações de Cauchy–Riemann:
\mathcal{V}_x=\frac{x}{x^2+y^2},\qquad \mathcal{V}_y=\frac{y}{x^2+y^2},
que coincide com as exigidas. Portanto \mathcal{V} é de fato uma conjugada harmônica de \mathcal{U} (em D).

Passo 8

Forma da função analítica f(z)=\mathcal{U}+i\mathcal{V}. Juntando \mathcal{U}(x,y)=-\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) e \mathcal{V}(x,y)=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C obtemos
f(x+iy)= -\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) + i\left(\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C\right).
Há uma interpretação compacta usando o logaritmo complexo: para z=x+iy com x>0 (domínio escolhido) vale a relação
\Log z = \ln|z| + i\Arg z = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2) + i\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right),
onde \Arg z=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) no semiplano direito. Multiplicando por i,
i\Log z = -\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right) + i\cdot\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2).
Portanto, escolhendo C=0, a função analítica pode ser escrita elegantemente como
f(z)=i\Log z,
no domínio onde a escolha do argumento coincide com \arctan(y/x) (por exemplo x>0). Se mantivermos a constante C, então f(z)=i\Log z + iC.

Passo 9

Observações finais e lembretes práticos para prova:
  • A verificação de harmonicidade é sempre feita calculando \mathcal{U}_{xx}+\mathcal{U}_{yy}. Não esquecer verificar onde as derivadas existem (aqui x\neq0 e x^2+y^2>0).
  • Para achar a conjugada, usar as equações de Cauchy–Riemann e integrar; checar consistência (derivando a solução obtida).
  • Ficar atento a domínios/salitamento de ramo do argumento: normalmente escolhe-se um domínio simplesmente conexo onde \arctan(y/x) representa o argumento sem ambiguidades (por exemplo x>0).

Resposta

(a) \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x>0\} (ou, mais geralmente, qualquer domínio simplesmente conexo que não corte a reta x=0);\n(b) \displaystyle \mathcal{V}(x,y)=\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C (constante C\in\mathbb{R});\n(c) \displaystyle f(z)= -\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)+i\left(\frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)+C\right), que, escolhendo C=0, equivale a \displaystyle f(z)=i\Log z no domínio indicado.

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