Nos problemas 11 e 12 comprove que a função dada
é harmônica em um domínio D. Determine sua conjugada harmônica
e uma função analítica
que satisfaça a condição indicada.
Passo 1
O enunciado dá a função
e uma condição sobre a primitiva analítica
:
- Função real dada:
. - Condição adicional:
.
O que se pede:
- Mostrar que
é harmônica em um domínio apropriado (isto é, verificar ). - Determinar uma conjugada harmônica
(ou seja, achar tal que seja analítica). - Encontrar uma função analítica
que satisfaça a condição .
Passo 2
O que significa ser harmônica (aula rápida e prática):
- Uma função real
é harmônica em um conjunto aberto se ela tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace
- Intuição prática: verificar harmonicidade é calcular duas segundas derivadas e somá‑las; se der zero, tá harmônica.
Passo 3
Aplicando a definição a
:
- Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
- Calcular as segundas derivadas:
- Somando:
Conclusão:
é harmônica em todo
. Portanto qualquer domínio aberto
serve; em particular a função é harmônica globalmente.
Passo 4
Como obter a conjugada harmônica
(aula prática sobre o método):
- Se
é analítica, as equações de Cauchy–Riemann valem:
- Plano de ação: usar
para integrar em e obter até uma função de integração em ; depois usar a outra equação para determinar essa função de integração.
Passo 5
Usar
:
- Sabemos
. Assim
- Integrando em
(tratando como constante),
onde
é uma função arbitrária de
(constante de integração em relação a
).
Passo 6
Determinar
usando a outra equação de Cauchy–Riemann:
- A segunda equação dá
. Como , segue
- Calcular
a partir da expressão encontrada:
- Então
. Integrando em ,
onde
é constante real.
- Substituindo em
,
Passo 7
Determinar a constante
a partir da condição
:
- Primeiro identificar coordenadas:
corresponde a , . - Avaliar
:
isto confere com a parte real de
(boa checagem).
- Avaliar
:
- A condição impõe
. Logo
- Portanto
Passo 8
Construir a função analítica
de maneira polida (forma em
):
- Podemos escrever
em como
- Para obter uma expressão em termos de
, calcular . Já temos e , então
- Notar que
. Assim
- Integrando em
,
com
constante complexa. Usar
para achar
:
Igualando a
dá
. Portanto uma forma compacta é