Nos problemas 11 e 12 comprove que a função dada
\mathcal{U} é harmônica em um domínio D. Determine sua conjugada harmônica \mathcal{V} e uma função analítica f(z)=U+i v que satisfaça a condição indicada.
U(x, y)=x y+x+2 y-5 ; f(2 i)=-1+5 i

Passo 1

O enunciado dá a função \mathcal{U} e uma condição sobre a primitiva analítica f:
  • Função real dada: \mathcal{U}(x,y)=x y+x+2 y-5.
  • Condição adicional: f(2 i)=-1+5 i.
    O que se pede:
  1. Mostrar que \mathcal{U} é harmônica em um domínio D apropriado (isto é, verificar \Delta \mathcal{U}=0).
  2. Determinar uma conjugada harmônica \mathcal{V}(x,y) (ou seja, achar \mathcal{V} tal que f=\mathcal{U}+i\mathcal{V} seja analítica).
  3. Encontrar uma função analítica f(z)=\mathcal{U}+i\mathcal{V} que satisfaça a condição f(2i)=-1+5i.

Passo 2

O que significa ser harmônica (aula rápida e prática):
  • Uma função real \mathcal{U}(x,y) é harmônica em um conjunto aberto D\subset\mathbb{R}^2 se ela tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace
\Delta \mathcal{U}:=\frac{\partial^2 \mathcal{U}}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \mathcal{U}}{\partial y^2}=0.
  • Intuição prática: verificar harmonicidade é calcular duas segundas derivadas e somá‑las; se der zero, tá harmônica.

Passo 3

Aplicando a definição a \mathcal{U}:
  • Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial \mathcal{U}}{\partial x}=y+1,\qquad \frac{\partial \mathcal{U}}{\partial y}=x+2.
  • Calcular as segundas derivadas:
\frac{\partial^2 \mathcal{U}}{\partial x^2}=0,\qquad \frac{\partial^2 \mathcal{U}}{\partial y^2}=0.
  • Somando:
\Delta \mathcal{U}=0+0=0.
Conclusão: \mathcal{U} é harmônica em todo \mathbb{R}^2. Portanto qualquer domínio aberto D\subset\mathbb{R}^2 serve; em particular a função é harmônica globalmente.

Passo 4

Como obter a conjugada harmônica \mathcal{V} (aula prática sobre o método):
  • Se f=\mathcal{U}+i\mathcal{V} é analítica, as equações de Cauchy–Riemann valem:
\frac{\partial \mathcal{U}}{\partial x}=\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial y}, \qquad \frac{\partial \mathcal{U}}{\partial y}=-\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial x}.
  • Plano de ação: usar \mathcal{U}_x para integrar em y e obter \mathcal{V} até uma função de integração em x; depois usar a outra equação para determinar essa função de integração.

Passo 5

Usar \mathcal{U}_x=\mathcal{V}_y:
  • Sabemos \mathcal{U}_x=y+1. Assim
\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial y}=y+1.
  • Integrando em y (tratando x como constante),
\mathcal{V}(x,y)=\int (y+1)\,dy=\frac{y^2}{2}+y+\varphi(x),
onde \varphi(x) é uma função arbitrária de x (constante de integração em relação a y).

Passo 6

Determinar \varphi(x) usando a outra equação de Cauchy–Riemann:
  • A segunda equação dá \mathcal{U}_y=-\mathcal{V}_x. Como \mathcal{U}_y=x+2, segue
x+2=-\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial x}.
  • Calcular \mathcal{V}_x a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \mathcal{V}}{\partial x}=\varphi'(x).
  • Então \varphi'(x)=-(x+2). Integrando em x,
\varphi(x)=-\frac{x^2}{2}-2x+C,
onde C é constante real.
  • Substituindo em \mathcal{V},
\mathcal{V}(x,y)=\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}-2x+C.

Passo 7

Determinar a constante C a partir da condição f(2i)=-1+5i:
  • Primeiro identificar coordenadas: 2i corresponde a x=0, y=2.
  • Avaliar \mathcal{U}(0,2):
\mathcal{U}(0,2)=0\cdot2+0+2\cdot2-5=4-5=-1,
isto confere com a parte real de f(2i) (boa checagem).
  • Avaliar \mathcal{V}(0,2):
\mathcal{V}(0,2)=\frac{2^2}{2}+2-\frac{0^2}{2}-2\cdot0+C=2+2+C=4+C.
  • A condição impõe \mathcal{V}(0,2)=5. Logo
4+C=5\quad\Rightarrow\quad C=1.
  • Portanto
\mathcal{V}(x,y)=\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}-2x+1.

Passo 8

Construir a função analítica f(z) de maneira polida (forma em z):
  • Podemos escrever f em (x,y) como
f(x,y)=\mathcal{U}+i\mathcal{V} =(x y+x+2 y-5)+i\!\left(\frac{y^2}{2}+y-\frac{x^2}{2}-2x+1\right).
  • Para obter uma expressão em termos de z=x+iy, calcular f'(z)=\mathcal{U}_x+i\mathcal{V}_x. Já temos \mathcal{U}_x=y+1 e \mathcal{V}_x=-(x+2), então
f'(z)= (y+1)+i\bigl(-(x+2)\bigr) = (1-2i) + (y - i x).
  • Notar que y-i x=-i(x+iy)=-i z. Assim
f'(z)=-i z+(1-2i).
  • Integrando em z,
f(z)=\int\bigl(-i z+(1-2i)\bigr)\,dz = -\frac{i}{2}z^2+(1-2i)z + C_0,
com C_0 constante complexa. Usar f(2i)=-1+5i para achar C_0:
z=2i\Rightarrow z^2=(2i)^2=-4.
f(2i)=-\frac{i}{2}(-4)+(1-2i)(2i)+C_0=2i+(4+2i)+C_0=4+4i+C_0.
Igualando a -1+5i C_0=-5+i. Portanto uma forma compacta é
f(z)=-\frac{i}{2}z^2+(1-2i)z-5+i.

Resposta

\mathcal{V}(x,y)=\dfrac{y^2}{2}+y-\dfrac{x^2}{2}-2x+1
f(z)=-\dfrac{i}{2}z^2+(1-2i)z-5+i

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