Nos problemas 9 e 10 determine se a equação diferencial de primeira ordem dada é linear na variável dependente indicada através da primeira equação diferencial dada em (7).
u d v+(v+u v-u e^u) d u=0;
em v

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
u,dv + l(v + u,v - u e^ur),du = 0
onde queremos ver se ela é linear em v. O conteúdo aqui é reconhecimento de equação linear de primeira ordem, e vamos precisar reescrever a equação isolando dv/du e comparando com a forma típica

Passo 2

Primeiro, dividimos toda a expressão por du e por u (assumindo uneq0) para isolar dv/du. Isso nos dá:
udvdu + (1+u)v - u e^u = 0
e então
dvdu + 1+uuv = e^u

Passo 3

Sabendo que uma equação de primeira ordem é linear na função dependente v se pode ser escrita no formato
dvdu + P(u),v = Q(u)
onde P e Q são funções de u apenas.

Passo 4

Comparando com
dvdu + 1+uuv = e^u
vemos que
P(u)=1+uu=1 + 1u, Q(u)=e^u
é matéria de dependência apenas em u.

Passo 5

Como conseguimos escrever no formato dv/du + P(u)v = Q(u) com P e Q só em u, concluímos que a equação é linear na variável dependente v.

Resposta

Sim. A equação pode ser escrita como dv/du + l(1+tfrac1ur)v = e^u, que é a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem em v.

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