Nos Problemas de (7-10) verifique se a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada. Suponha um intervalo
apropriado de definição para cada solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. Precisamos verificar se essa função realmente satisfaz a equação diferencial em um intervalo apropriado.
Dados do enunciado:
e a função candidata
O que se pede: verificar se, ao substituir
e sua derivada na equação diferencial, a igualdade é verdadeira (isto é, se a função é solução). Não precisamos resolver a EDO do zero, apenas checar a propriedade.
Passo 2
Vamos calcular a derivada
da função candidata passo a passo. Relembre que:
- A derivada de uma constante é zero.
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função.
Aplicando essas regras a
a primeira parcela
tem derivada zero. A segunda parcela é
; sua derivada é
Usando
, obtemos
Passo 3
Agora simplificamos o produto numérico:
Portanto
Passo 4
Substituímos
e
na expressão
e simplificamos. Primeiro escrevemos
:
Calcule os coeficientes:
logo
Passo 5
Agora some
e
:
Ao agrupar termos semelhantes, os termos em
se cancelam:
Obtivemos exatamente o lado direito da equação diferencial.
Passo 6
Conclusão da verificação: a substituição mostrou que a igualdade da equação diferencial é satisfeita para todo
onde a função está definida. A função dada é composta por constantes e por
, que está definida para todo
. Portanto um intervalo apropriado de definição é
.
Resposta
Sim. A função
satisfaz
para todo
.