Nos Problemas de (7-10) verifique se a função indicada é uma solução explícita da equação diferencial dada. Suponha um intervalo I apropriado de definição para cada solução.
\frac{d y}{d t}+20 y=24 ; \quad y=\frac{6}{5}-\frac{6}{5} e^{-20 t}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. Precisamos verificar se essa função realmente satisfaz a equação diferencial em um intervalo apropriado.
Dados do enunciado:
\frac{dy}{dt}+20y=24
e a função candidata
y(t)=\frac{6}{5}-\frac{6}{5}e^{-20t}.
O que se pede: verificar se, ao substituir y(t) e sua derivada na equação diferencial, a igualdade é verdadeira (isto é, se a função é solução). Não precisamos resolver a EDO do zero, apenas checar a propriedade.

Passo 2

Vamos calcular a derivada \frac{dy}{dt} da função candidata passo a passo. Relembre que:
  • A derivada de uma constante é zero.
  • A derivada de e^{kt} em relação a t é k e^{kt}.
  • A derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função.
Aplicando essas regras a
y(t)=\frac{6}{5}-\frac{6}{5}e^{-20t},
a primeira parcela \frac{6}{5} tem derivada zero. A segunda parcela é -\dfrac{6}{5}e^{-20t}; sua derivada é
\frac{d}{dt}\left(-\frac{6}{5}e^{-20t}\right)=-\frac{6}{5}\cdot\frac{d}{dt}\left(e^{-20t}\right).
Usando \dfrac{d}{dt}e^{-20t}=-20e^{-20t}, obtemos
\frac{dy}{dt}=-\frac{6}{5}\cdot(-20)e^{-20t}.

Passo 3

Agora simplificamos o produto numérico:
-\frac{6}{5}\cdot(-20)=\frac{6\cdot20}{5}=\frac{120}{5}=24.
Portanto
\frac{dy}{dt}=24e^{-20t}.

Passo 4

Substituímos \frac{dy}{dt} e y na expressão \frac{dy}{dt}+20y e simplificamos. Primeiro escrevemos 20y:
20y=20\left(\frac{6}{5}-\frac{6}{5}e^{-20t}\right)=20\cdot\frac{6}{5}-20\cdot\frac{6}{5}e^{-20t}.
Calcule os coeficientes:
20\cdot\frac{6}{5}=\frac{120}{5}=24,
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20y=24-24e^{-20t}.

Passo 5

Agora some \frac{dy}{dt} e 20y:
\frac{dy}{dt}+20y=24e^{-20t}+\bigl(24-24e^{-20t}\bigr).
Ao agrupar termos semelhantes, os termos em e^{-20t} se cancelam:
24e^{-20t}-24e^{-20t}+24=24.
Obtivemos exatamente o lado direito da equação diferencial.

Passo 6

Conclusão da verificação: a substituição mostrou que a igualdade da equação diferencial é satisfeita para todo t onde a função está definida. A função dada é composta por constantes e por e^{-20t}, que está definida para todo t\in\mathbb{R}. Portanto um intervalo apropriado de definição é I=\mathbb{R}.

Resposta

Sim. A função y(t)=\dfrac{6}{5}-\dfrac{6}{5}e^{-20t} satisfaz \dfrac{dy}{dt}+20y=24 para todo t\in\mathbb{R}.

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