Nos Problemas 15 e 16, verifique se a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem dada. Encontre pelo menos uma solução explícita em cada caso, e faça o gráfico representativa da mesma. Dê um intervalo I de definição de cada solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e a expressão implícita
O que pedem:
- Verificar se a expressão implícita é uma solução da equação diferencial (ou seja, diferenciar implicitamente e comparar).
- Encontrar pelo menos uma solução explícita (ou seja, resolver para
em função de ). - Fazer o gráfico representativo de cada solução (descrever como esboçar) e dar um intervalo
de definição de cada solução.
As informações relevantes já presentes no enunciado são exatamente as duas fórmulas acima; não há outras figuras ou tabelas.
Passo 2
Vamos verificar se a curva dada por
satisfaz a equação diferencial. A técnica é a diferenciação implícita: tratamos
como função de
(ou seja,
) e derivamos ambos os lados em relação a
.
Regra usada (explicação curta): quando derivamos uma expressão com
, aplicamos a regra da cadeia — por exemplo,
porque
depende de
.
Derivando
termo a termo:
Agora calcular cada derivada:
usando produto e cadeia; e
Somando:
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Agora multiplico ambos os lados por
e reorganizo:
ou
Isso é exatamente a equação diferencial dada. Conclusão: a curva implícita é, de fato, solução da equação diferencial, desde que possamos dividir por
(ou seja, desde que
nos pontos considerados).
Passo 3
Agora vamos obter soluções explícitas
. Reescrevemos a relação implícita como uma equação quadrática em
:
Para resolver uma quadrática
usamos a fórmula quadrática:
onde aqui
,
,
. Calculando o discriminante:
Logo as soluções são
Portanto obtemos duas soluções explícitas (duas folhas da curva implícita):
Explicação adicional: o termo
existe e é real para todo
porque
sempre.
Passo 4
Analisando domínio e diferenciabilidade das duas soluções explícitas.
- Domínio: como
está definido para todo , ambas as funções e estão definidas para todo . Portanto um intervalo de definição (máximo) para cada solução é
- Pontos onde a derivada poderia falhar: lembramos que, na verificação, dividimos por
. Vamos verificar para cada ramo:
Como
para todo
, em nenhum ponto ocorre
. Portanto a derivada dada por
está bem definida para todo
em ambas as folhas. Assim ambas são soluções suaves em todo
.
Passo 5
Comportamento das soluções e instruções para esboçar os gráficos (como “fazer o gráfico representativo”):
- Valores em pontos fáceis: em
,
ou seja os pontos
e
. Em
,
-
Simetria: ambas as fórmulas dependem de
e , que são funções pares; portanto e são funções pares: são simétricas em relação ao eixo (mesmo valor para e ). -
Comportamento para grandes
(assintóticos):
Assim
Logo a folha superior é uma curva que cresce rapidamente (parecida com uma parábola de coeficiente cerca de
), sempre positiva; a folha inferior fica sempre negativa e tende a
quando
.
- Sinal da inclinação (usando a fórmula da derivada
):
- Para
, em temos e (logo o denominador é negativo); isso dá . Assim no ramo superior a curva cresce à direita de (simétrica à esquerda). - Para
, em temos e ; novamente . Assim o ramo inferior também cresce quando (de forma simétrica para ).
- Esboço prático: desenhe o eixo
; marque e . Desenhe uma curva superior simétrica que passa por e abre para cima ficando aproximadamente como para grandes . Desenhe uma curva inferior simétrica que passa por , fica negativa, aproxima-se do eixo por baixo quando cresce, sem cruzá-lo. Exemplos de pontos calculados ajudam a posicionar: para e já demos valores (ver acima).
Resposta
Sim — a curva implícita
satisfaz a equação diferencial
.\n
Soluções explícitas: .\n
Intervalos de definição (para cada ramo): .
Soluções explícitas:
Intervalos de definição (para cada ramo):