Nos Problemas 15 e 16, verifique se a expressão indicada é uma solução implícita da equação diferencial de primeira ordem dada. Encontre pelo menos uma solução explícita em cada caso, e faça o gráfico representativa da mesma. Dê um intervalo I de definição de cada solução.
2 x y d x+\left(x^{2}-y\right) d y=0 ; \quad-2 x^{2} y+y^{2}=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
2 x y\,dx + \bigl(x^{2}-y\bigr)\,dy = 0
e a expressão implícita
-2 x^{2} y + y^{2} = 1.
O que pedem:
  1. Verificar se a expressão implícita é uma solução da equação diferencial (ou seja, diferenciar implicitamente e comparar).
  2. Encontrar pelo menos uma solução explícita (ou seja, resolver para y em função de x).
  3. Fazer o gráfico representativo de cada solução (descrever como esboçar) e dar um intervalo I de definição de cada solução.
As informações relevantes já presentes no enunciado são exatamente as duas fórmulas acima; não há outras figuras ou tabelas.

Passo 2

Vamos verificar se a curva dada por -2 x^{2} y + y^{2} = 1 satisfaz a equação diferencial. A técnica é a diferenciação implícita: tratamos y como função de x (ou seja, y=y(x)) e derivamos ambos os lados em relação a x.
Regra usada (explicação curta): quando derivamos uma expressão com y, aplicamos a regra da cadeia — por exemplo, \dfrac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\,\dfrac{dy}{dx} porque y depende de x.
Derivando -2 x^{2} y + y^{2} = 1 termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(-2 x^{2} y\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) = \frac{d}{dx}(1).
Agora calcular cada derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(-2 x^{2} y\bigr) = -2\bigl(2x\cdot y + x^{2}\cdot \frac{dy}{dx}\bigr) = -4 x y -2 x^{2}\frac{dy}{dx},
usando produto e cadeia; e
\frac{d}{dx}\bigl(y^{2}\bigr) = 2 y \frac{dy}{dx}.
Somando:
-4 x y -2 x^{2}\frac{dy}{dx} + 2 y \frac{dy}{dx} = 0.
Agrupando os termos com \dfrac{dy}{dx}:
(-2 x^{2} + 2 y)\frac{dy}{dx} = 4 x y.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{4 x y}{2(-x^{2}+y)} = -\frac{2 x y}{x^{2}-y}.
Agora multiplico ambos os lados por dx e reorganizo:
(x^{2}-y)\,dy = -2 x y\,dx,
ou
2 x y\,dx + (x^{2}-y)\,dy = 0.
Isso é exatamente a equação diferencial dada. Conclusão: a curva implícita é, de fato, solução da equação diferencial, desde que possamos dividir por x^{2}-y (ou seja, desde que x^{2}-y\neq 0 nos pontos considerados).

Passo 3

Agora vamos obter soluções explícitas y=y(x). Reescrevemos a relação implícita como uma equação quadrática em y:
y^{2} - 2 x^{2} y - 1 = 0.
Para resolver uma quadrática a y^{2} + b y + c = 0 usamos a fórmula quadrática:
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde aqui a=1, b=-2x^{2}, c=-1. Calculando o discriminante:
b^{2}-4ac = (-2x^{2})^{2} - 4\cdot 1\cdot(-1) = 4x^{4} + 4 = 4\bigl(x^{4}+1\bigr).
Logo as soluções são
y = \frac{2x^{2} \pm \sqrt{4\bigl(x^{4}+1\bigr)}}{2} = x^{2} \pm \sqrt{x^{4}+1}.
Portanto obtemos duas soluções explícitas (duas folhas da curva implícita):
\boxed{y_{+}(x)=x^{2} + \sqrt{x^{4}+1},\qquad y_{-}(x)=x^{2} - \sqrt{x^{4}+1}.}
Explicação adicional: o termo \sqrt{x^{4}+1} existe e é real para todo x porque x^{4}+1>0 sempre.

Passo 4

Analisando domínio e diferenciabilidade das duas soluções explícitas.
  1. Domínio: como \sqrt{x^{4}+1} está definido para todo x\in\mathbb{R}, ambas as funções y_{+} e y_{-} estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Portanto um intervalo de definição (máximo) para cada solução é
I = (-\infty,\infty).
  1. Pontos onde a derivada poderia falhar: lembramos que, na verificação, dividimos por x^{2}-y. Vamos verificar x^{2}-y para cada ramo:
x^{2}-y_{+} = x^{2} - \bigl(x^{2} + \sqrt{x^{4}+1}\bigr) = -\sqrt{x^{4}+1}\neq 0,
x^{2}-y_{-} = x^{2} - \bigl(x^{2} - \sqrt{x^{4}+1}\bigr) = \sqrt{x^{4}+1}\neq 0.
Como \sqrt{x^{4}+1}>0 para todo x, em nenhum ponto ocorre x^{2}-y=0. Portanto a derivada dada por
\frac{dy}{dx} = -\frac{2 x y}{x^{2}-y}
está bem definida para todo x em ambas as folhas. Assim ambas são soluções suaves em todo \mathbb{R}.

Passo 5

Comportamento das soluções e instruções para esboçar os gráficos (como “fazer o gráfico representativo”):
  1. Valores em pontos fáceis: em x=0,
y_{\pm}(0)=0^{2}\pm\sqrt{0^{4}+1}=\pm 1,
ou seja os pontos (0,1) e (0,-1). Em x=1,
y_{+}(1)=1+\sqrt{2}\approx 2{,}414,\qquad y_{-}(1)=1-\sqrt{2}\approx -0{,}414.
  1. Simetria: ambas as fórmulas dependem de x^{2} e \sqrt{x^{4}+1}, que são funções pares; portanto y_{+} e y_{-} são funções pares: são simétricas em relação ao eixo y (mesmo valor para x e -x).
  2. Comportamento para grandes |x| (assintóticos):
\sqrt{x^{4}+1} = x^{2}\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{4}}}=x^{2}\Bigl(1+\tfrac{1}{2x^{4}}+\cdots\Bigr).
Assim
y_{+}(x)=x^{2}+\sqrt{x^{4}+1}\approx 2x^{2}\quad\text{(cresce como }2x^{2}\text{ quando }|x|\to\infty),
y_{-}(x)=x^{2}-\sqrt{x^{4}+1}\approx -\frac{1}{2x^{2}}\quad\text{(tende a }0\text{ por baixo quando }|x|\to\infty).
Logo a folha superior é uma curva que cresce rapidamente (parecida com uma parábola de coeficiente cerca de 2), sempre positiva; a folha inferior fica sempre negativa e tende a 0^{-} quando |x|\to\infty.
  1. Sinal da inclinação (usando a fórmula da derivada \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{2xy}{x^{2}-y}):
  • Para x>0, em y_{+} temos y>0 e x^{2}-y<0 (logo o denominador é negativo); isso dá \dfrac{dy}{dx}>0. Assim no ramo superior a curva cresce à direita de 0 (simétrica à esquerda).
  • Para x>0, em y_{-} temos y<0 e x^{2}-y>0; novamente \dfrac{dy}{dx}>0. Assim o ramo inferior também cresce quando x>0 (de forma simétrica para x<0).
  1. Esboço prático: desenhe o eixo y; marque (0,1) e (0,-1). Desenhe uma curva superior simétrica que passa por (0,1) e abre para cima ficando aproximadamente como 2x^{2} para grandes |x|. Desenhe uma curva inferior simétrica que passa por (0,-1), fica negativa, aproxima-se do eixo y=0 por baixo quando |x| cresce, sem cruzá-lo. Exemplos de pontos calculados ajudam a posicionar: para x=1 e x=2 já demos valores (ver acima).

Resposta

Sim — a curva implícita -2 x^{2} y + y^{2} = 1 satisfaz a equação diferencial 2 x y\,dx + (x^{2}-y)\,dy = 0.\n
Soluções explícitas: y(x)=x^{2} \pm \sqrt{x^{4}+1}.\n
Intervalos de definição (para cada ramo): I = (-\infty,\infty).

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