Calcular
para a seguinte função implícita:
Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função implícita dada:
Informações relevantes fornecidas:
e
aparecem na mesma equação e aqui devemos tratar
como função de
(ou seja,
), porque queremos
.
A equação acima é válida para todos os pontos que satisfazem a relação dada.
A equação acima é válida para todos os pontos
Passo 2
Ideia de resolução (explicação das regras que vamos usar):
Quando uma equação envolve e
e queremos
, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
. Como
depende de
, sempre que derivarmos uma expressão que contenha
usamos a regra da cadeia: se
é função de
e
é função de
, então
Quando uma equação envolve
Além disso, quando diferenciamos um produto de funções usamos a regra do produto:
Aqui vou denotar
por
para deixar as contas mais limpas durante o desenvolvimento. Lembre-se:
.
Passo 3
Derivamos termo a termo o lado esquerdo da equação em relação a
.
Termo
. Trato como
vezes o produto
. Aplicando produto + cadeia:
Agora
(regra da cadeia), e
. Portanto
Termo
. Como
depende de
,
Somando, a derivada do lado esquerdo é
Passo 4
Derivamos o lado direito da equação em relação a
.
Termo
:
Termo
. Aqui usamos cadeia:
. Então
Somando, a derivada do lado direito é
Passo 5
Agora igualamos as derivadas dos dois lados e resolvemos para
.
Igualando:
Agrupamos todos os termos que contêm
no mesmo lado. Primeiro somamos
aos dois lados:
Fatoramos
nos termos que o contêm:
Isolamos
subtraindo
e dividindo pelo fator:
Podemos fatorar um pouco para deixar bonito (opcional):
Passo 6
Interpretação final rápida e incentivo: a expressão acima dá
em termos de
e
. Em uma prova, siga exatamente estes passos: diferencie termo a termo em relação a
, use produto e cadeia quando aparecer
, agrupe os termos com
e isole. Você está indo bem — respira, repete esse procedimento em mais exercícios parecidos e vai ficar automático!