Calcular d x / d y para a seguinte função implícita:
3 x^{2} y+4 x=2 y^{3}-7 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dx}{dy} para a função implícita dada:
3 x^{2} y + 4 x = 2 y^{3} - 7 x^{4}
Informações relevantes fornecidas:
\;x e \;y aparecem na mesma equação e aqui devemos tratar \;x como função de \;y (ou seja, \;x = x(y)), porque queremos \dfrac{dx}{dy}.
A equação acima é válida para todos os pontos (x,y) que satisfazem a relação dada.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação das regras que vamos usar):
Quando uma equação envolve \;x e \;y e queremos \dfrac{dx}{dy}, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a \;y. Como \;x depende de \;y, sempre que derivarmos uma expressão que contenha \;x usamos a regra da cadeia: se f é função de x e x é função de y, então
\frac{d}{dy}f(x(y)) = f'(x(y))\cdot\frac{dx}{dy}.
Além disso, quando diferenciamos um produto de funções usamos a regra do produto:
\frac{d}{dy}\big(u(y)\,v(y)\big)=u'(y)\,v(y)+u(y)\,v'(y).
Aqui vou denotar \dfrac{dx}{dy} por x' para deixar as contas mais limpas durante o desenvolvimento. Lembre-se: x'=\dfrac{dx}{dy}.

Passo 3

Derivamos termo a termo o lado esquerdo da equação em relação a \;y.
Termo \;3 x^{2} y. Trato como 3 vezes o produto x^{2}\cdot y. Aplicando produto + cadeia:
\frac{d}{dy}\big(3 x^{2} y\big) =3\left(\frac{d}{dy}(x^{2})\cdot y + x^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y)\right).
Agora \dfrac{d}{dy}(x^{2})=2x\cdot x' (regra da cadeia), e \dfrac{d}{dy}(y)=1. Portanto
\frac{d}{dy}\big(3 x^{2} y\big)=3\big(2x x' \, y + x^{2}\big)=6x y\, x' + 3 x^{2}.
Termo \;4 x. Como x depende de y,
\frac{d}{dy}\big(4 x\big)=4 x'.
Somando, a derivada do lado esquerdo é
6x y\, x' + 3 x^{2} + 4 x'.

Passo 4

Derivamos o lado direito da equação em relação a \;y.
Termo \;2 y^{3}:
\frac{d}{dy}\big(2 y^{3}\big)=6 y^{2}.
Termo -7 x^{4}. Aqui usamos cadeia: \dfrac{d}{dy}(x^{4})=4 x^{3} x'. Então
\frac{d}{dy}\big(-7 x^{4}\big)=-7\cdot 4 x^{3} x' = -28 x^{3} x'.
Somando, a derivada do lado direito é
6 y^{2} - 28 x^{3} x'.

Passo 5

Agora igualamos as derivadas dos dois lados e resolvemos para x'.
Igualando:
6x y\, x' + 3 x^{2} + 4 x' = 6 y^{2} - 28 x^{3} x'.
Agrupamos todos os termos que contêm x' no mesmo lado. Primeiro somamos 28 x^{3} x' aos dois lados:
6x y\, x' + 28 x^{3} x' + 4 x' + 3 x^{2} = 6 y^{2}.
Fatoramos x' nos termos que o contêm:
x'\big(6x y + 28 x^{3} + 4\big) + 3 x^{2} = 6 y^{2}.
Isolamos x' subtraindo 3 x^{2} e dividindo pelo fator:
x'\big(6x y + 28 x^{3} + 4\big) = 6 y^{2} - 3 x^{2},
x' = \frac{6 y^{2} - 3 x^{2}}{6x y + 28 x^{3} + 4}.
Podemos fatorar um pouco para deixar bonito (opcional):
x' = \frac{3\big(2 y^{2} - x^{2}\big)}{2\big(3 x y + 14 x^{3} + 2\big)}.

Passo 6

Interpretação final rápida e incentivo: a expressão acima dá \dfrac{dx}{dy} em termos de x e y. Em uma prova, siga exatamente estes passos: diferencie termo a termo em relação a y, use produto e cadeia quando aparecer x, agrupe os termos com \dfrac{dx}{dy} e isole. Você está indo bem — respira, repete esse procedimento em mais exercícios parecidos e vai ficar automático!

Resposta

\frac{dx}{dy}=\frac{6 y^{2}-3 x^{2}}{6 x y+28 x^{3}+4}

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