Nos Problemas 7-10, x=c_{1} \cos t+c_{2} sen t é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem x^{\prime \prime}+x=0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
x(0)=-1, \quad x^{\prime}(0)=8

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO
x'' + x = 0
e a família de soluções de dois parâmetros
x(t) = c_{1}\cos t + c_{2}\sin t.
Para resolver o PVI, precisamos determinar c_{1} e c_{2} de modo a satisfazer as condições iniciais
x(0) = -1, \quad x'(0) = 8.

Passo 2

Usando x(0) = c_{1}\cos0 + c_{2}\sin0, obtemos
x(0) = c_{1}\cdot1 + c_{2}\cdot0 = c_{1} = -1.

Passo 3

Calculamos a derivada
x'(t) = -\,c_{1}\sin t + c_{2}\cos t.
Então
x'(0) = -\,c_{1}\sin0 + c_{2}\cos0 = c_{2} = 8.

Resposta

x(t) = -\cos t + 8\sin t.

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