Nos Problemas 7-10, x=c_{1} \cos t+c_{2} sen t é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem x^{\prime \prime}+x=0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
x(\pi / 6)=\frac{1}{2}, \quad x^{\prime}(\pi / 6)=0

Passo 1

O PVI é dado pela EDO
x'' + x = 0
com as condições iniciais
x\bigl(\pi/6\bigr)=\tfrac12,\quad x'\bigl(\pi/6\bigr)=0.
O conteúdo aqui é resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

A solução geral de x''+x=0 é
x(t)=c_{1}\cos t + c_{2}\sin t.
Derivando obtemos
x'(t)=-c_{1}\sin t + c_{2}\cos t.
Avaliando em t=\pi/6 e usando as condições iniciais formamos o sistema
\frac{\sqrt{3}}{2}c_{1} + \tfrac12 c_{2} = \tfrac12
-\tfrac12 c_{1} + \frac{\sqrt{3}}{2}c_{2} = 0

Passo 3

Multiplicando cada equação por 2, fica
\sqrt{3}\,c_{1} + c_{2} = 1
-\,c_{1} + \sqrt{3}\,c_{2} = 0
Da segunda equação segue
c_{1}=\sqrt{3}\,c_{2}.
Substituindo na primeira,
\sqrt{3}\,(\sqrt{3}\,c_{2}) + c_{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 3c_{2}+c_{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad c_{2}=\tfrac14, \; c_{1}=\tfrac{\sqrt{3}}{4}.

Passo 4

Com c_{1} e c_{2} encontrados, a solução particular do PVI é
x(t)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cos t + \frac{1}{4}\sin t.

Resposta

\displaystyle x(t)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cos t + \frac{1}{4}\sin t

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