Nos Problemas 3-6, y=1 /\left(x^{2}+c\right) é uma família de soluções de um parâmetro da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}-0. Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas. Defina o maior intervalo I sobre o qual a solução seja definida.
y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a ED de primeira ordem
y' + 2x\,y^2 = 0
e afirma que uma família de soluções depende do parâmetro c:
y(x) = \frac{1}{x^2 + c}.
O objetivo é achar a solução que satisfaz a condição inicial y(0)=1 e determinar o maior intervalo de definição.

Passo 2

Aplicar a condição inicial na fórmula geral. Em x=0, deve valer
y(0) = \frac{1}{0^2 + c} = 1,
logo \tfrac{1}{c} = 1, de onde c = 1.

Passo 3

Substituindo c=1 na família, obtemos a solução particular
y(x) = \frac{1}{x^2 + 1}.

Passo 4

Analisar o denominador x^2 + 1. Ele é sempre estritamente positivo para todo x\in\mathbb{R}, logo não há singularidades e a solução está definida em todo \mathbb{R}. Assim, o maior intervalo de definição é
I = (-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=\frac{1}{x^2+1}, I=(-\infty,\infty)

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