Nos Problemas 3-6, y=1 /\left(x^{2}+c\right) é uma família de soluções de um parâmetro da ED de primeira ordem y^{\prime}+2 x y^{2}-0. Determine uma solução do PVI de primeira ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas. Defina o maior intervalo I sobre o qual a solução seja definida.
y\left(\frac{1}{2}\right)=-4

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
y' + 2x\,y^2 = 0
e informa que a família de soluções é
y = \frac{1}{x^2 + c}.
Pede-se a solução que satisfaz a condição inicial
y\!\bigl(\tfrac12\bigr) = -4
e o maior intervalo I onde essa solução existe sem singularidades.

Passo 2

Vamos checar que a família realmente resolve a EDO. Se
y = (x^2 + c)^{-1},
então
y' = -1\cdot(x^2 + c)^{-2}\cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2 + c)^2}.
Por outro lado,
2x\,y^2 = 2x\,(x^2 + c)^{-2} = \frac{2x}{(x^2 + c)^2}.
Logo
y' + 2x\,y^2 = -\frac{2x}{(x^2 + c)^2} + \frac{2x}{(x^2 + c)^2} = 0,
confirmando que essa família é a solução geral.

Passo 3

Impondo a condição inicial
y\!\bigl(\tfrac12\bigr)=\frac{1}{\tfrac14 + c} = -4
resulta em
\tfrac14 + c = -\tfrac14 \quad\Longrightarrow\quad c = -\tfrac12.

Passo 4

A solução particular fica
y(x) = \frac{1}{x^2 - \tfrac12}.

Passo 5

O denominador anula-se quando
x^2 - \tfrac12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt2}.
Para que y(x) seja bem definida e contínua contendo x=\tfrac12, o maior intervalo sem atingir essas singularidades é
I = \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\,\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).

Resposta

A solução do PVI é
y(x) = \frac{1}{x^2 - \tfrac12},
definida no maior intervalo
I = \bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2},\,\tfrac{1}{\sqrt2}\bigr).

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