Nos Problemas 11-14, x=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem y^{\prime \prime}-y=0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y'' - y = 0
e informa que a família de soluções gerais é
y(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x}.
Queremos encontrar a solução que satisfaz as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=2.

Passo 2

Para resolver a equação característica assoc­iada à ED, escrevemos
r^2 - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Isso gera as duas soluções independentes e^{x} e e^{-x}, confirmando que a solução geral é
y(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x}.

Passo 3

Calculamos a derivada primeira de y(x):
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x}\bigr) = c_{1}e^{x} - c_{2}e^{-x}.

Passo 4

Impondo as condições iniciais em x=0:
Pela condição y(0)=1,
y(0) = c_{1} + c_{2} = 1.
Pela condição y'(0)=2,
y'(0) = c_{1} - c_{2} = 2.

Passo 5

Resolvemos o sistema
\begin{cases} c_{1} + c_{2} = 1,\\\ c_{1} - c_{2} = 2. \end{cases}
Somando as duas equações vem 2c_{1}=3, logo
c_{1} = \tfrac{3}{2}.
Substituindo em c_{1}+c_{2}=1 resulta
c_{2} = 1 - \tfrac{3}{2} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Substituindo c_{1} = \tfrac{3}{2} e c_{2} = -\tfrac{1}{2} na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(x) = \frac{3}{2}e^{x} \;-\;\frac{1}{2}e^{-x}.

Resposta

y(x) = \dfrac{3}{2}e^{x} - \dfrac{1}{2}e^{-x}.

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