Questão 10

Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Considere a parábola
x^{2}=8 y.
Ao rotacioná-la em torno do eixo y, obtém-se uma superfície no espaço.
Determine a equação reduzida da superfície gerada.
◯ a. x^{2}+z^{2}=8 y
◯ b. x^{2}-z^{2}=8 y
◯ c. x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 y
◯ d. y^{2}+z^{2}=8 x
◯ e. x^{2}+y^{2}=8 z

Passo 1

O enunciado dá a parábola \;x^{2}=8y\; (no plano xy) e pede a equação reduzida da superfície obtida ao rotacioná-la em torno do eixo y.
Informações relevantes:
  • Curva inicial: \;x^{2}=8y\;.
  • Operação: rotação da curva em torno do eixo y.
  • Objetivo: escrever a equação da superfície de revolução resultante (forma reduzida).

Passo 2

Ideia física/geométrica da rotação (explicação didática):
Quando uma curva do plano xy é girada em torno do eixo y, cada ponto (x,y) do plano gera um círculo cujo plano é paralelo ao plano xz e cujo raio é a distância do ponto ao eixo y. Essa distância ao eixo y é justamente a coordenada radial no plano xz, dada por \sqrt{x^{2}+z^{2}}. Portanto, ao rotacionar, a variável x “espalha-se” pelo raio radial \sqrt{x^{2}+z^{2}} do círculo gerado.
Dica prática para a prova: trocar qualquer ocorrência de x^{2} que mede distância ao eixo y por x^{2}+z^{2} quando se faz revolução em torno do eixo y.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso concreto: a curva original satisfaz
x^{2}=8y.
Ao rotacionar em torno do eixo y, o quadrado da distância radial ao eixo y passa a ser x^{2}+z^{2}. Substituímos x^{2} por x^{2}+z^{2} na equação da curva para obter a equação da superfície de revolução:
x^{2}+z^{2}=8y.

Passo 4

Interpretação da equação encontrada (uma pequena aula):
A equação \;x^{2}+z^{2}=8y\; descreve um paraboloide circular (paraboloide de revolução) com eixo de simetria ao longo do eixo y, abrindo no sentido dos y positivos. Podemos também escrever isolando y:
y=\frac{x^{2}+z^{2}}{8},
o que mostra que, para cada raio r=\sqrt{x^{2}+z^{2}}, o valor de y cresce como r^{2} (característica de uma parábola).

Passo 5

Verificações rápidas (para sentir confiança):
  • Ponto gerador da parábola original: (x,y)=(2,\,\tfrac{1}{2}) porque 2^{2}=4=8\cdot\tfrac{1}{2}. Ao rotacionar, pontos como (2,\,\tfrac{1}{2},0) e (0,\,\tfrac{1}{2},2) devem pertencer à superfície. Substituindo em \;x^{2}+z^{2}=8y\;: para (0,\tfrac{1}{2},2) obtemos 0^{2}+2^{2}=4 e 8y=8\cdot\tfrac{1}{2}=4, ok — consistente.

Passo 6

Conclusão sobre a alternativa correta: a equação obtida é exatamente
x^{2}+z^{2}=8y.
Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a. x^{2}+z^{2}=8y

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