Questão 10
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
Considere a parábola
.
Ao rotacioná-la em torno do eixo
, obtém-se uma superfície no espaço.
Determine a equação reduzida da superfície gerada.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Ao rotacioná-la em torno do eixo
Determine a equação reduzida da superfície gerada.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá a parábola
(no plano
) e pede a equação reduzida da superfície obtida ao rotacioná-la em torno do eixo
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Curva inicial:
- Operação: rotação da curva em torno do eixo
. - Objetivo: escrever a equação da superfície de revolução resultante (forma reduzida).
Passo 2
Ideia física/geométrica da rotação (explicação didática):
Quando uma curva do plano é girada em torno do eixo
, cada ponto
do plano gera um círculo cujo plano é paralelo ao plano
e cujo raio é a distância do ponto ao eixo
. Essa distância ao eixo
é justamente a coordenada radial no plano
, dada por
. Portanto, ao rotacionar, a variável
“espalha-se” pelo raio radial
do círculo gerado.
Quando uma curva do plano
Dica prática para a prova: trocar qualquer ocorrência de
que mede distância ao eixo
por
quando se faz revolução em torno do eixo
.
Passo 3
Aplicando a ideia ao caso concreto: a curva original satisfaz
Ao rotacionar em torno do eixo
, o quadrado da distância radial ao eixo
passa a ser
. Substituímos
por
na equação da curva para obter a equação da superfície de revolução:
Passo 4
Interpretação da equação encontrada (uma pequena aula):
A equação descreve um paraboloide circular (paraboloide de revolução) com eixo de simetria ao longo do eixo
, abrindo no sentido dos
positivos. Podemos também escrever isolando
:
A equação
o que mostra que, para cada raio
, o valor de
cresce como
(característica de uma parábola).
Passo 5
Verificações rápidas (para sentir confiança):
- Ponto gerador da parábola original:
porque . Ao rotacionar, pontos como e devem pertencer à superfície. Substituindo em : para obtemos e , ok — consistente.
Passo 6
Conclusão sobre a alternativa correta: a equação obtida é exatamente
Isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a.