Nos Problemas 11-14, x=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem y^{\prime \prime}-y=0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
y(1)=0, \quad y^{\prime}(1)=e

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial de segunda ordem
y'' - y = 0
cuja família geral de soluções é
y(x) = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{-x}.
As condições iniciais são
y(1)=0, \quad y'(1)=e.
Vamos achar c_{1} e c_{2} para satisfazer essas condições.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de y(x):
y'(x) = c_{1} e^{x} - c_{2} e^{-x}.
Em x=1 as condições dão o sistema
\begin{cases} y(1)=c_{1}e^{1} + c_{2}e^{-1}=0,\\[0.5em] y'(1)=c_{1}e^{1} - c_{2}e^{-1}=e. \end{cases}]

Passo 3

Denotando A = c_{1}e\) e \(B = c_{2}e^{-1}\), o sistema fica \[\begin{cases} A + B = 0,\\\ A - B = e. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos 2A = e\], logo \[A = \frac{e}{2} \quad\Longrightarrow\quad c_{1} = \frac{A}{e} = \frac{1}{2}.\] Como \(B = -A = -\tfrac{e}{2}, temos
c_{2} = B\,e = -\frac{e}{2}\,e = -\frac{e^{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo c_{1} e c_{2} na solução geral, obtemos
y(x) = \frac{1}{2}e^{x} - \frac{e^{2}}{2}e^{-x} = \frac{e^{x} - e^{2-x}}{2}.

Resposta

y(x) = \frac{e^{x} - e^{2 - x}}{2}.

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