Nos Problemas 11-14, x=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem y^{\prime \prime}-y=0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem
y'' - y = 0
cuja solução geral é
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}
e pede a solução que satisfaz as condições iniciais
y(0)=0,\quad y'(0)=0.

Passo 2

Aplicar a condição y(0)=0. Substituindo x=0 em
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{-x}
obtemos
y(0)=C_{1}+C_{2}=0.

Passo 3

Aplicar a condição y'(0)=0. Primeiro calculamos a derivada
y'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}.
Em x=0 isso dá
y'(0)=C_{1}-C_{2}=0.

Passo 4

Resolver o sistema de equações
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=0,\\\ C_{1}-C_{2}=0. \end{cases}
Somando as duas, vem 2C_{1}=0, logo C_{1}=0. Daí C_{2}=0. Substituindo de volta,
y(x)=0.

Resposta

y(x)=0

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