Nos Problemas 11-14, x=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-x} é uma família de soluções de dois parâmetros da ED de segunda ordem y^{\prime \prime}-y=0. Determine uma solução do PVI de segunda ordem constituído por essa equação diferencial e as condições iniciais dadas.
y(-1)=5, \quad y^{\prime}(-1)=-5

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes
y'' - y = 0
e informa que a família geral de soluções é
y(x) = c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x}.
O que precisamos agora é usar as condições iniciais
y(-1) = 5,\quad y'(-1) = -5
para determinar c_{1} e c_{2}.

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de y(x). Da solução geral temos
y'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(c_{1}e^{x} + c_{2}e^{-x}\bigr) = c_{1}e^{x} - c_{2}e^{-x}.
Agora aplicamos as condições iniciais em x=-1:
y(-1) = c_{1}e^{-1} + c_{2}e^{1} = 5,
y'(-1) = c_{1}e^{-1} - c_{2}e^{1} = -5.

Passo 3

Temos o sistema linear em c_{1}e^{-1}\) e \(c_{2}e^{1}\): \[\begin{cases} c_{1}e^{-1} + c_{2}e^{1} = 5,\\\ c_{1}e^{-1} - c_{2}e^{1} = -5. \end{cases}
Somando as duas equações elimina c_{2}\]: \[2\,c_{1}e^{-1} = 0 \;\Longrightarrow\; c_{1}e^{-1}=0 \;\Longrightarrow\; c_{1}=0.\] Substituindo em \(c_{1}e^{-1} + c_{2}e^{1}=5
c_{2}e^{1} = 5 \;\Longrightarrow\; c_{2} = 5e^{-1}.

Passo 4

Substituindo c_{1}=0 e c_{2}=5e^{-1} na solução geral resulta
y(x) = 0\cdot e^{x} + \bigl(5e^{-1}\bigr)e^{-x} = 5\,e^{-1 - x} = 5\,e^{-(x+1)}.

Resposta

y(x) = 5\,e^{-(x+1)}.

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