Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar uma solução particular para a equação diferencial
, onde
. Sabemos que a solução da equação homogênea associada
é
. Para resolver isso, vamos utilizar métodos de equações diferenciais lineares não homogêneas e identificar a forma adequada da solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução da equação homogênea (
) com uma solução particular (
). Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 3
Como o termo não homogêneo
é um polinômio de segundo grau (
), vamos supor que a solução particular
também seja um polinômio do mesmo grau. Assim, propomos:
onde
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de
para substituir na equação diferencial:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial
:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 7
Para que a igualdade seja válida para todos os valores de
, os coeficientes correspondentes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
-
Para
: -
Para
:
Substituindo:
-
Termo constante:
Substituindoe :
Resposta
A solução particular da equação diferencial é: