Nos Problemas 11.15 a 11.26, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^2x+c2e^3x.
phi(x)=-3x^2

Passo 1

Vamos resumir o problema: Precisamos encontrar uma solução particular para a equação diferencial L(y) = phi(x), onde phi(x) = -3x^2. Sabemos que a solução da equação homogênea associada L(y) = 0 é yh = c1e^2x + c2e^3x. Para resolver isso, vamos utilizar métodos de equações diferenciais lineares não homogêneas e identificar a forma adequada da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral da equação diferencial não homogênea é a soma da solução da equação homogênea ( yh) com uma solução particular ( yp). Ou seja:
y = yh + yp
Nosso objetivo é encontrar yp.

Passo 3

Como o termo não homogêneo phi(x) é um polinômio de segundo grau ( -3x^2), vamos supor que a solução particular yp também seja um polinômio do mesmo grau. Assim, propomos:
yp = Ax^2 + Bx + C
onde A, B e C são constantes que precisamos determinar.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de yp para substituir na equação diferencial:
yp = Ax^2 + Bx + C
yp' = 2Ax + B
yp'' = 2A

Passo 5

Substituímos yp, yp' e yp'' na equação diferencial L(y) = y'' - 5y' + 6y = -3x^2:
2A - 5(2Ax + B) + 6(Ax^2 + Bx + C) = -3x^2

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a equação:
2A - 10Ax - 5B + 6Ax^2 + 6Bx + 6C = -3x^2
Agrupando os termos semelhantes:
6A x^2 + (-10A + 6B)x + (2A - 5B + 6C) = -3x^2

Passo 7

Para que a igualdade seja válida para todos os valores de x, os coeficientes correspondentes dos termos de mesma potência devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
  1. Para x^2:
    6A = -3 Rightarrow A = -12
  2. Para x:
    -10A + 6B = 0
    Substituindo A:
    -10(-12) + 6B = 0
    5 + 6B = 0 Rightarrow B = -56
  3. Termo constante:
    2A - 5B + 6C = 0
    Substituindo A e B:
    2(-12) - 5(-56) + 6C = 0
    -1 + 256 + 6C = 0
    196 + 6C = 0 Rightarrow 6C = -196 Rightarrow C = -1936

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:
yp = -12x^2 - 56x - 1936

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