Nos problemas 11 a 18, calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das matrizes dadas em cada um deles.
13) \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 2 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: calcular os valores próprios (autovalores) e os correspondentes vetores próprios (autovetores) da matriz
Informações relevantes dadas: a matriz A de ordem 3\times3. Objetivo final: encontrar todos os escalares \lambda e vetores não nulos v tais que Av=\lambda v.]
Passo 2
O que é um valor próprio e um vetor próprio (curta aula): um número \lambda é valor próprio de A se existir vetor não-nulo v tal que
Av=\lambda v.
Isso é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade 3\times3. Para existir solução não-trivial para essa equação homogênea, precisamos que a matriz A-\lambda I seja singular, isto é,
\det(A-\lambda I)=0.
A expressão \det(A-\lambda I) é o polinômio característico de A. Vamos calculá-lo passo a passo para achar os \lambda.
Agora, para cada \lambda\) vamos resolver \((A-\lambda I)v=0\) para obter os autovetores. Começo por \(\lambda=1\). A matriz \(A-I\) é
\[A-I=\begin{pmatrix}0 & -1 & 0 \\[4pt] 2 & 2 & 2 \\[4pt] 1 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema linear (A-I)(x,y,z)^T=0 obtemos as equações:
\begin{cases} 0\cdot x - y + 0\cdot z =0,\\[4pt] 2x+2y+2z=0,\\[4pt] x+y+z=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=0\]. Substituindo nas outras obtemos \(2x+2z=0 e x+z=0, ambas equivalentes a x+z=0. Assim x=-z. Tomando parâmetro z=t, obtemos vetores da forma
Da primeira (ou terceira) equação vem x=-y\]. Substituindo na segunda:
\[2(-y)+y+2z=-y+2z=0 \implies y=2z.\]
Então \(x=-y=-2z. Tomando parâmetro z=t, os autovetores são
Da primeira equação y=-2x\]. Da segunda \(2x+2z=0 vem z=-x. A terceira fica x+(-2x)-(-x)=0, que é satisfeita (redundante). Tomando parâmetro x=t, obtemos
Encontramos três autovalores distintos \lambda=1,2,3. Quando os autovalores são distintos, os autovetores correspondentes são linearmente independentes (boa notícia: formam uma base de \mathbb{R}^3 se quisermos diagonalizar A).
Cada autovetor pode ser multiplicado por qualquer escalar não-nulo; por conveniência escolhemos representantes simples.
Se preferir outros representantes, por exemplo trocar sinais ou escalar por 2, continua sendo um autovetor válido.