Nos problemas 28 a 31, para cada uma das matrizes simétricas A, determinar uma matriz ortogonal P para a qual P
{ }^{t} A P seja diagonal.
29) \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 2 & 5\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: “Para a matriz simétrica \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\[4pt] 2 & 5\end{array}\right], determinar uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal.”
Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}.
Objetivo claro: encontrar uma matriz ortogonal P (ou seja, P^{t}P=I) cujas colunas sejam vetores unitários ortogonais que diagonalizam A, isto é, façam P^{t}AP diagonal.]
Passo 2
Lembrete rápido e didático (sem pular etapas): para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica usamos autovalores e autovetores reais. Procedimento prático:
Calcular os autovalores \lambda resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
Para cada autovalor, achar um autovetor não-nulo resolvendo (A-\lambda I)v=0.
Normalizar os autovetores (dividir pela sua norma) e organizá‑los como colunas de P. Como A é simétrica, os autovetores de autovalores distintos serão ortogonais automaticamente. Então P será ortogonal e P^{t}AP será diagonal com as entradas sendo os autovalores.
Formar a matriz P cujas colunas são os vetores unitários (a ordem das colunas corresponde à ordem desejada dos autovalores na diagonal). Se quisermos a diagonal com \lambda_1=6 na primeira posição e \lambda_2=1 na segunda, tomamos
Se quiseres conferir na prova, basta multiplicar A pelas colunas de P e verificar que cada coluna é escalada pelo autovalor correspondente; ou calcular explicitamente P^{t}AP.]