Nos problemas 28 a 31, para cada uma das matrizes simétricas A, determinar uma matriz ortogonal P para a qual P
{ }^{t} A P seja diagonal.
29) \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\\\ 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: “Para a matriz simétrica \mathrm{A}=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\[4pt] 2 & 5\end{array}\right], determinar uma matriz ortogonal P tal que P^{t} A P seja diagonal.”
Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix}2 & 2\\[4pt] 2 & 5\end{pmatrix}.
Objetivo claro: encontrar uma matriz ortogonal P (ou seja, P^{t}P=I) cujas colunas sejam vetores unitários ortogonais que diagonalizam A, isto é, façam P^{t}AP diagonal.]

Passo 2

Lembrete rápido e didático (sem pular etapas): para diagonalizar ortogonalmente uma matriz simétrica usamos autovalores e autovetores reais. Procedimento prático:
  1. Calcular os autovalores \lambda resolvendo \det(A-\lambda I)=0.
  2. Para cada autovalor, achar um autovetor não-nulo resolvendo (A-\lambda I)v=0.
  3. Normalizar os autovetores (dividir pela sua norma) e organizá‑los como colunas de P. Como A é simétrica, os autovetores de autovalores distintos serão ortogonais automaticamente. Então P será ortogonal e P^{t}AP será diagonal com as entradas sendo os autovalores.

Passo 3

Calcular o polinômio característico:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 2\\[4pt] 2 & 5-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(5-\lambda)-2\cdot2.
Desenvolvendo:
(2-\lambda)(5-\lambda)-4=\lambda^2-7\lambda+10-4=\lambda^2-7\lambda+6.
Resolvendo \lambda^2-7\lambda+6=0. A equação quadrática tem discriminante \Delta=(-7)^2-4\cdot1\cdot6=49-24=25. As raízes são
\lambda=\frac{7\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{7\pm5}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_1=6,\qquad \lambda_2=1.]

Passo 4

Encontrar um autovetor para \lambda_1=6. Resolvemos (A-6I)v=0:
A-6I=\begin{pmatrix}2-6 & 2\\[4pt] 2 & 5-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 2\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
Resolver o sistema -4x+2y=0 (segunda equação é proporcional). Daí -4x+2y=0\Rightarrow 2y=4x\Rightarrow y=2x. Tomando x=1 obtemos o autovetor
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Verificação rápida (útil na prova): calcular A v_1:
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot1+2\cdot2\\[4pt]2\cdot1+5\cdot2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]12\end{pmatrix}=6\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},
confirmando que é autovetor de autovalor 6.]

Passo 5

Encontrar um autovetor para \lambda_2=1. Resolvemos (A-I)v=0:
A-I=\begin{pmatrix}2-1 & 2\\[4pt] 2 & 5-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
Sistema: x+2y=0\Rightarrow x=-2y. Tomando y=1 obtemos
v_2=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Verificação:
A\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2(-2)+2(1)\\[4pt]2(-2)+5(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4+2\\[4pt]-4+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}=1\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix},
confirmando autovalor 1.]

Passo 6

Normalizar os autovetores (transformá‑los em vetores unitários). Cálculo das normas:
\|v_1\|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},\qquad \|v_2\|=\sqrt{(-2)^2+1^2}=\sqrt{5}.
Assim os vetores unitários são
u_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad u_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Verificação de ortogonalidade (muito útil na prova): o produto interno u_1\cdot u_2 é
u_1\cdot u_2=\frac{1}{5}(1\cdot(-2)+2\cdot1)=\frac{-2+2}{5}=0,
portanto já são ortonormais.]

Passo 7

Formar a matriz P cujas colunas são os vetores unitários (a ordem das colunas corresponde à ordem desejada dos autovalores na diagonal). Se quisermos a diagonal com \lambda_1=6 na primeira posição e \lambda_2=1 na segunda, tomamos
P=\begin{pmatrix}\;u_1\;&\;u_2\;\end{pmatrix} =\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Como as colunas são ortonormais, P é ortogonal ( P^{t}P=I). Pela propriedade dos autovetores ortonormais de matrizes simétricas, temos
P^{t}AP=\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
Se quiseres conferir na prova, basta multiplicar A pelas colunas de P e verificar que cada coluna é escalada pelo autovalor correspondente; ou calcular explicitamente P^{t}AP.]

Resposta

P=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}
P^{t}AP=\begin{pmatrix}6 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}]

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