Sejam
um espaço vetorial,
um elemento qualquer de
e
um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
se
, então
ou
.
se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados:
-
é um espaço vetorial. -
é um vetor qualquer. -
é um escalar real. - Sabemos que
(o produto escalar entre e é o vetor nulo).
Pedido:
- Provar que, a partir de
, conclui-se que ou .
Passo 2
Estratégia geral (sem começar a calcular ainda): vou assumir que
e mostrar que isso força
. Isso prova que, se
, então ou
ou (caso contrário)
. Para fazer isso preciso usar apenas axiomas de espaço vetorial e propriedades do corpo
(em particular: se
então existe
tal que
).
Passo 3
Vou lembrar (e explicar) os axiomas/propriedades que vou usar, de forma didática:
- Associatividade da multiplicação escalar (axioma do espaço vetorial):
para quaisquer escalares
e vetor
. Isso permite “mudar os parênteses” entre escalares e vetor.
- Unidade escalar:
para todo
. O escalar
atua como identidade na multiplicação escalar.
-
Propriedade do corpo
:
Seentão existe tal que . -
Distributividade da multiplicação escalar sobre soma vetorial:
para todo escalar
e vetores
.
- Existence do vetor oposto (inverso aditivo): para cada
existe tal que .
Vou usar essas propriedades de forma explícita e passo a passo.
Passo 4
Prova principal — parte 1: assumo
e suponho que
. Como
, existe
com
. Multiplico a igualdade
à esquerda pelo escalar
. Isso é permitido e resulta em
Uso da associatividade da multiplicação escalar (Passo 3.1) no membro esquerdo:
Mas
(Passo 3.3), então
Aplico a propriedade da unidade escalar (Passo 3.2) no membro esquerdo:
Agora preciso mostrar que
para concluir que
. Vou provar a identidade geral útil: para todo escalar
vale
.
Passo 5
Prova auxiliar de que
para todo escalar
:
Começo da igualdade (usando que
):
Pela distributividade escalar sobre soma vetorial (Passo 3.4),
Logo
Agora somo o inverso aditivo de
(que existe por axioma, Passo 3.5) em ambos os lados:
No lado esquerdo
. No lado direito, pela associatividade da soma vetorial e pelo fato de
, obtemos
Assim mostramos
para qualquer escalar
.
Passo 6
Volto à conclusão do Passo 6: aplicando o resultado do Passo 7 com
obtemos
. Então da igualdade
surge
.
Passo 7
Conclusão lógica: partimos de
. Mostramos que, se
, então necessariamente
. Em outras palavras, a alternativa que resta quando
é
. Portanto, a afirmação buscada está provada: se
então
ou
.