Sejam V um espaço vetorial, \mathbf{v} \in V um elemento qualquer de V e \alpha \in \mathbb{R} um número real. Use os axiomas de espaço vetorial para provar que:
se \alpha . \mathbf{v}=\mathbf{0}, então \alpha=0 ou \mathbf{v}=\mathbf{0}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
Dados:
  • V é um espaço vetorial.
  • \mathbf{v}\in V é um vetor qualquer.
  • \alpha\in\mathbb{R} é um escalar real.
  • Sabemos que \alpha\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0} (o produto escalar entre \alpha e \mathbf{v} é o vetor nulo).
Pedido:
  • Provar que, a partir de \alpha\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}, conclui-se que \alpha=0 ou \mathbf{v}=\mathbf{0}.

Passo 2

Estratégia geral (sem começar a calcular ainda): vou assumir que \alpha\neq 0 e mostrar que isso força \mathbf{v}=\mathbf{0}. Isso prova que, se \alpha\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0}, então ou \alpha=0 ou (caso contrário) \mathbf{v}=\mathbf{0}. Para fazer isso preciso usar apenas axiomas de espaço vetorial e propriedades do corpo \mathbb{R} (em particular: se \alpha\neq 0 então existe \alpha^{-1} tal que \alpha^{-1}\alpha=1).

Passo 3

Vou lembrar (e explicar) os axiomas/propriedades que vou usar, de forma didática:
  1. Associatividade da multiplicação escalar (axioma do espaço vetorial):
(a b)\mathbf{w} = a(b\mathbf{w})
para quaisquer escalares a,b\in\mathbb{R} e vetor \mathbf{w}\in V. Isso permite “mudar os parênteses” entre escalares e vetor.
  1. Unidade escalar:
1\cdot\mathbf{w}=\mathbf{w}
para todo \mathbf{w}\in V. O escalar 1 atua como identidade na multiplicação escalar.
  1. Propriedade do corpo \mathbb{R}:
    Se \alpha\neq 0 então existe \alpha^{-1}\in\mathbb{R} tal que \alpha^{-1}\alpha=1.
  2. Distributividade da multiplicação escalar sobre soma vetorial:
c(\mathbf{x}+\mathbf{y}) = c\mathbf{x} + c\mathbf{y}
para todo escalar c e vetores \mathbf{x},\mathbf{y}\in V.
  1. Existence do vetor oposto (inverso aditivo): para cada \mathbf{z}\in V existe -\mathbf{z}\in V tal que \mathbf{z}+(-\mathbf{z})=\mathbf{0}.
Vou usar essas propriedades de forma explícita e passo a passo.

Passo 4

Prova principal — parte 1: assumo \alpha\cdot\mathbf{v}=\mathbf{0} e suponho que \alpha\neq 0. Como \alpha\neq 0, existe \alpha^{-1}\in\mathbb{R} com \alpha^{-1}\alpha=1. Multiplico a igualdade \alpha\mathbf{v}=\mathbf{0} à esquerda pelo escalar \alpha^{-1}. Isso é permitido e resulta em
\alpha^{-1}(\alpha\mathbf{v})=\alpha^{-1}\mathbf{0}.
Uso da associatividade da multiplicação escalar (Passo 3.1) no membro esquerdo:
(\alpha^{-1}\alpha)\mathbf{v} = \alpha^{-1}\mathbf{0}.
Mas \alpha^{-1}\alpha=1 (Passo 3.3), então
1\cdot\mathbf{v} = \alpha^{-1}\mathbf{0}.
Aplico a propriedade da unidade escalar (Passo 3.2) no membro esquerdo:
\mathbf{v} = \alpha^{-1}\mathbf{0}.
Agora preciso mostrar que \alpha^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0} para concluir que \mathbf{v}=\mathbf{0}. Vou provar a identidade geral útil: para todo escalar c\in\mathbb{R} vale c\mathbf{0}=\mathbf{0}.

Passo 5

Prova auxiliar de que c\mathbf{0}=\mathbf{0} para todo escalar c:
Começo da igualdade (usando que \mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}):
c\mathbf{0} = c(\mathbf{0}+\mathbf{0}).
Pela distributividade escalar sobre soma vetorial (Passo 3.4),
c(\mathbf{0}+\mathbf{0}) = c\mathbf{0} + c\mathbf{0}.
Logo
c\mathbf{0} = c\mathbf{0} + c\mathbf{0}.
Agora somo o inverso aditivo de c\mathbf{0} (que existe por axioma, Passo 3.5) em ambos os lados:
(-c\mathbf{0}) + (c\mathbf{0}) = (-c\mathbf{0}) + (c\mathbf{0} + c\mathbf{0}).
No lado esquerdo (\\ -c\mathbf{0}) + (c\mathbf{0})=\mathbf{0}. No lado direito, pela associatividade da soma vetorial e pelo fato de (-c\mathbf{0}) + (c\mathbf{0})=\mathbf{0}, obtemos
\mathbf{0} = \mathbf{0} + c\mathbf{0} = c\mathbf{0}.
Assim mostramos c\mathbf{0}=\mathbf{0} para qualquer escalar c.

Passo 6

Volto à conclusão do Passo 6: aplicando o resultado do Passo 7 com c=\alpha^{-1} obtemos \alpha^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}. Então da igualdade \mathbf{v} = \alpha^{-1}\mathbf{0} surge \mathbf{v}=\mathbf{0}.

Passo 7

Conclusão lógica: partimos de \alpha\mathbf{v}=\mathbf{0}. Mostramos que, se \alpha\neq 0, então necessariamente \mathbf{v}=\mathbf{0}. Em outras palavras, a alternativa que resta quando \mathbf{v}\neq\mathbf{0} é \alpha=0. Portanto, a afirmação buscada está provada: se \alpha\mathbf{v}=\mathbf{0} então \alpha=0 ou \mathbf{v}=\mathbf{0}.

Resposta

\alpha=0 ou \mathbf{v}=\mathbf{0}

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