Nos problemas 11 a 18, calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das matrizes dadas em cada um deles.
18) \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: calcular os valores próprios (autovalores) e os correspondentes vetores próprios (autovetores) da matriz dada. A matriz fornecida é
Seja v=(x,y,z)^\top. O sistema (A+I)v=0 dá as equações
\begin{cases} x+2z=0,\\[4pt] 0=0\quad(\text{segunda linha não impõe condição}),\\[4pt] 2x+z=0. \end{cases}ãõçã
Da primeira temos x=-2z\]. Substituindo na terceira:
\[2(-2z)+z=-4z+z=-3z=0\implies z=0.\]
Então \(x=0 e y é livre (segunda equação não restringe y). Assim os autovetores correspondentes a \lambda=-1 são todos os múltiplos escalares de
A primeira dá x+z=0\iff x=-z\]. A segunda dá \(y=0. Tomando z=t temos x=-t. Um autovetor conveniente é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}
(obviamente qualquer múltiplo funciona; escolhi o sinal para ficar mais simples).]
Passo 7
Resumo e observação final: encontrei três autovalores distintos \lambda=-1,2,-2 e, para cada um, um autovetor não nulo. Como os três autovetores são linearmente independentes (são respectivamente (0,1,0), (1,0,1) e (1,0,-1)), a matriz tem uma base de autovetores (isto significa que é diagonalizável), mas isso é apenas uma observação extra — o pedido era apenas os autovalores e autovetores.