Nos problemas 11 a 18, calcular os valores próprios e os correspondentes vetores próprios das matrizes dadas em cada um deles.
18) \mathrm{A}=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & 2 \\\\ 0 & -1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: calcular os valores próprios (autovalores) e os correspondentes vetores próprios (autovetores) da matriz dada. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & -1 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & 0\end{pmatrix}.
Informações relevantes: temos uma matriz 3\times3 e precisamos encontrar todos os pares (\lambda,v) tais que Av=\lambda v, com v\neq0.]

Passo 2

Definição e procedimento padrão (explicado passo a passo): um número \lambda é valor próprio se existe vetor não nulo v tal que
Av=\lambda v.
Isto é equivalente a
(A-\lambda I)v=0,
onde I é a matriz identidade. Para existir solução não-trivial devemos ter
\det(A-\lambda I)=0.
A função \det(A-\lambda I) é o polinômio característico; suas raízes são os autovalores. Vou montar A-\lambda I explicitamente:
A-\lambda I=\begin{pmatrix}-\lambda & 0 & 2 \\[4pt] 0 & -1-\lambda & 0 \\[4pt] 2 & 0 & -\lambda\end{pmatrix}.]

Passo 3

Cálculo do determinante (polinômio característico). Usando a regra de Sarrus/expansão por colunas/laias, calculo
\det(A-\lambda I)= (-\lambda)\big((-1-\lambda)(-\lambda)-0\cdot0\big) -0\big(0\cdot(-\lambda)-0\cdot2\big) +2\big(0\cdot0-(-1-\lambda)\cdot2\big).
Agora simplifico termo a termo:
(-1-\lambda)(-\lambda)=\lambda+\lambda^2,
logo o primeiro termo é
(-\lambda)(\lambda+\lambda^2)=-\lambda^2-\lambda^3.
O segundo termo é zero. O terceiro termo é
2\big(0-(-1-\lambda)\cdot2\big)=2\cdot 2(1+\lambda)=4+4\lambda.
Somando,
\det(A-\lambda I)=-\lambda^3-\lambda^2+4\lambda+4.
Multiplicando por -1 (para facilitar fatoração) obtemos
0=\lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4.
Faço fatoração por agrupamento:
\lambda^3+\lambda^2-4\lambda-4=\lambda^2(\lambda+1)-4(\lambda+1)=(\lambda+1)(\lambda^2-4).
E \lambda^2-4=(\lambda-2)(\lambda+2). Portanto os autovalores são as raízes:
\lambda=-1,\quad \lambda=2,\quad \lambda=-2.

Passo 4

Agora, para cada autovalor encontro os autovetores resolvendo [(A-\lambda I)v=0). Começo por \lambda=-1.
Calculo A-(-1)I=A+I:
A+I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & 1\end{pmatrix}.
Seja v=(x,y,z)^\top. O sistema (A+I)v=0 dá as equações
\begin{cases} x+2z=0,\\[4pt] 0=0\quad(\text{segunda linha não impõe condição}),\\[4pt] 2x+z=0. \end{cases}ãõçã
Da primeira temos x=-2z\]. Substituindo na terceira: \[2(-2z)+z=-4z+z=-3z=0\implies z=0.\] Então \(x=0 e y é livre (segunda equação não restringe y). Assim os autovetores correspondentes a \lambda=-1 são todos os múltiplos escalares de
v=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora \lambda=2\). Calculo \(A-2I\): \[A-2I=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & -3 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & -2\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^\top, o sistema (A-2I)v=0 é
\begin{cases} -2x+2z=0,\\[4pt] -3y=0,\\[4pt] 2x-2z=0. \end{cases}
Da primeira/terceira obtemos -2x+2z=0\iff x=z\]. Da segunda \(y=0. Então escolhemos parâmetro t com x=t,\\ z=t,\\ y=0. Um autovetor conveniente é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},
porque qualquer múltiplo escalareservirá.]

Passo 6

Agora \lambda=-2\). Calculo \(A-(-2)I=A+2I\): \[A+2I=\begin{pmatrix}2 & 0 & 2 \\[4pt] 0 & 1 & 0 \\[4pt] 2 & 0 & 2\end{pmatrix}.
Com v=(x,y,z)^\top, o sistema (A+2I)v=0 é
\begin{cases} 2x+2z=0,\\[4pt] y=0,\\[4pt] 2x+2z=0. \end{cases}
A primeira dá x+z=0\iff x=-z\]. A segunda dá \(y=0. Tomando z=t temos x=-t. Um autovetor conveniente é
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}
(obviamente qualquer múltiplo funciona; escolhi o sinal para ficar mais simples).]

Passo 7

Resumo e observação final: encontrei três autovalores distintos \lambda=-1,2,-2 e, para cada um, um autovetor não nulo. Como os três autovetores são linearmente independentes (são respectivamente (0,1,0), (1,0,1) e (1,0,-1)), a matriz tem uma base de autovetores (isto significa que é diagonalizável), mas isso é apenas uma observação extra — o pedido era apenas os autovalores e autovetores.

Resposta

\lambda=-1,\\ v=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}
\lambda=2,\\ v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}
\lambda=-2,\\ v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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