Nos Problemas 11-18, use o Teorema 7.2 para calcular \mathscr{L}\left\{f(t)\right\}. f(t)=e^{t} \cos t
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f(t)=e^{t}\cos t.
Informações dadas: a função f(t) está explicitamente f(t)=e^{t}\cos t.
Objetivo claro: encontrar \mathscr{L}\{f(t)\}, isto é, a expressão em termos de s que representa a transformada de Laplace de f.
Passo 2
O que é a transformada de Laplace (a definição que vamos usar): seja g(t) uma função adequada (por exemplo, de crescimento exponencial controlado). A transformada de Laplace de g é a função G(s) dada por
onde s é uma variável complexa (normalmente tratamos \Re(s) suficientemente grande para garantir convergência). Aqui t é a variável de tempo e s é o parâmetro da transformação. Esta definição é a base de tudo que vamos usar.
Passo 3
Enunciado pede para usar o Teorema 7.2. Esse teorema (o famoso “shift” exponencial) afirma o seguinte: se \mathscr{L}\{g(t)\}=G(s), então, para qualquer constante real a,
\mathscr{L}\{e^{at} g(t)\}=G(s-a).
Explicação rápida e prova curta (para você entender por que funciona): usando a definição,
que é exatamente G(s-a). Sobre a região de convergência: se G(s) converge para \Re(s)>\sigma_0, então \mathscr{L}\{e^{at} g(t)\} converge para \Re(s)>\sigma_0+a (o deslocamento em s desloca também a região).
Passo 4
Aplicando o teorema ao nosso problema: escrevemos f(t)=e^{t}\cos t como e^{at} g(t) com a=1 e g(t)=\cos t. Então basta saber G(s)=\mathscr{L}\{\cos t\} e substituir s por s-1.
Passo 5
Calcular \mathscr{L}\{\cos t\} de forma detalhada (pra você saber como obter isso na prova sem decorar mecanicamente): defina
I(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt.
Assuma \Re(s)>0 para garantir que as exponenciais desapareçam no infinito. Fazemos integração por partes uma vez para relacionar I com a transformada de \sin t. Tomando u=\cos t e dv=e^{-st}dt temos du=-\sin t\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
As condições de convergência fazem o termo no infinito valer 0, e no t=0 o termo dá -\dfrac{1}{s}\cos 0=-\dfrac{1}{s}, então o sinal total do termo de contorno resulta em +\dfrac{1}{s}. Simplificando a integral obtemos
Chame a integral restante de J(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\sin t\,dt. Aplicando integração por partes em J(s) (com u=\sin t, dv=e^{-st}dt) encontramos J(s)=\dfrac{1}{s}I(s). Substituindo de volta em I(s):