Nos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
18.
18.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com as condições iniciais
O objetivo é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro lembrar a fórmula geral para a transformada da
-ésima derivada: se
então
Aqui
é a imagem de
pela transformada de Laplace e
é a variável complexa da transformada. Essa fórmula é essencial porque transforma derivadas (difíceis de manipular) em polinômios em
multiplicando
, e incorpora automaticamente as condições iniciais.
Passo 3
Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados de
. Pela linearidade:
Usando a fórmula da derivada de ordem 4 e as condições iniciais:
Substituindo
obtemos
Também
. Portanto a equação transformada é
Passo 4
Isolando
:
Fatore o numerador e o denominador:
Logo
Houve um cancelamento conveniente do fator
.
Passo 5
Agora precisamos inverter a transformada de Laplace. Recorde (ou verifique numa tabela) que
Como temos exatamente
, obtemos pela inversa:
Passo 6
Verificação final (para ter confiança): calcule as derivadas iniciais de
:
Além disso
, então
é satisfeita. Tudo confere com as condições iniciais e a equação.