Nos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
18. y^{46}-y=0 ; \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1, \quad y^{\prime \prime \prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y^{(4)}-y=0
com as condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=1,\quad y^{(3)}(0)=0.
O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaça a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro lembrar a fórmula geral para a transformada da n-ésima derivada: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} então
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-s^{n-1}y(0)-s^{n-2}y'(0)-\cdots - y^{(n-1)}(0).
Aqui Y(s) é a imagem de y(t) pela transformada de Laplace e s é a variável complexa da transformada. Essa fórmula é essencial porque transforma derivadas (difíceis de manipular) em polinômios em s multiplicando Y(s), e incorpora automaticamente as condições iniciais.

Passo 3

Aplique a transformada de Laplace em ambos os lados de \,y^{(4)}-y=0. Pela linearidade:
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}-\mathcal{L}\{y\}=0.
Usando a fórmula da derivada de ordem 4 e as condições iniciais:
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s)-s^{3}y(0)-s^{2}y'(0)-s\,y''(0)-y^{(3)}(0).
Substituindo y(0)=1,\;y'(0)=0,\;y''(0)=1,\;y^{(3)}(0)=0 obtemos
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}=s^{4}Y(s)-s^{3}-s.
Também \mathcal{L}\{y\}=Y(s). Portanto a equação transformada é
s^{4}Y(s)-s^{3}-s - Y(s)=0.

Passo 4

Isolando Y(s):
Y(s)\bigl(s^{4}-1\bigr)=s^{3}+s.
Fatore o numerador e o denominador:
s^{3}+s=s(s^{2}+1),\qquad s^{4}-1=(s^{2}-1)(s^{2}+1)=(s-1)(s+1)(s^{2}+1).
Logo
Y(s)=\frac{s(s^{2}+1)}{(s^{2}+1)(s^{2}-1)}=\frac{s}{s^{2}-1}.
Houve um cancelamento conveniente do fator (s^{2}+1).

Passo 5

Agora precisamos inverter a transformada de Laplace. Recorde (ou verifique numa tabela) que
\mathcal{L}\{\operatorname{cosh} t\}=\frac{s}{s^{2}-1}\quad(\text{para }|s|>1).
Como temos exatamente Y(s)=\dfrac{s}{s^{2}-1}, obtemos pela inversa:
y(t)=\operatorname{cosh} t.

Passo 6

Verificação final (para ter confiança): calcule as derivadas iniciais de y(t)=\operatorname{cosh} t:
y(0)=\cosh0=1,\quad y'(t)=\operatorname{sinh} t\Rightarrow y'(0)=0,
y''(t)=\operatorname{cosh} t\Rightarrow y''(0)=1,\quad y^{(3)}(t)=\operatorname{sinh} t\Rightarrow y^{(3)}(0)=0.
Além disso y^{(4)}(t)=\operatorname{cosh} t=y(t), então y^{(4)}-y=0 é satisfeita. Tudo confere com as condições iniciais e a equação.

Resposta

\operatorname{cosh} t

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