Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos. f(x)=\left\{\begin{array}{rlrl}-\pi, & -2 \pi & <x<-\pi \\\ x, & -\pi & \leq x<\pi \\\ \pi, & & \pi & \leq x<2 \pi\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá a função periódica (definida no intervalo (-2\pi,2\pi)\) como mostrado):
\[f(x)=\begin{cases} -\pi, & -2\pi<x<-\pi,\\[4pt] x, & -\pi\le x<\pi,\\[4pt] \pi, & \pi\le x<2\pi, \end{cases}
e pede que a expandamos em uma série apropriada de cossenos ou de senos.
Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
Dados relevantes: valores de f(x)\] em três ramos no intervalo \((-2\pi,2\pi) (mostrados acima).
Pedido: obter a expansão em série de Fourier adequada (ou seja, escolher série de cossenos ou de senos) e calcular os coeficientes explicitamente.]
Passo 2
Detectar a simetria de f para escolher entre série de cossenos (par) ou de senos (ímpar).
Verifico f(-x) comparando com f(x):
Se 0<x<\pi, então f(x)=x e f(-x)=-x, logo f(-x)=-f(x) nesse trecho.
Se \pi<x<2\pi, então f(x)=\pi e f(-x)=-\pi, logo também f(-x)=-f(x) nesse trecho.
Portanto, para todo x em (-2\pi,2\pi) tem-se f(-x)=-f(x): a função é ímpar.
Conclusão: a série de Fourier apropriada contém apenas termos de senos (série ímpar) no intervalo simétrico (-L,L) com L=2\pi.
Passo 3
Escrever a forma geral da série ímpar em (-L,L) e a fórmula dos coeficientes. Aqui L=2\pi.
A série de Fourier (sem termo constante e sem cossenos) é
Explicando as variáveis: L é metade do período (aqui L=2\pi), n é o índice dos harmônicos e b_n mede a contribuição do seno de frequência n.
Como f é ímpar e \sin é ímpar, o produto f(x)\sin(\cdot) é par, então a integral do simétrico [-L,L] reduz-se a duas vezes a integral em [0,L]. Assim:
Substituindo k=\dfrac{n}{2} (logo \dfrac{1}{k}=\dfrac{2}{n} e \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{4}{n^2}) e lembrando \sin(k\pi)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right), obtemos