Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
f(x)=\left\{\begin{array}{rlrl}-\pi, & -2 \pi & <x<-\pi \\\ x, & -\pi & \leq x<\pi \\\ \pi, & & \pi & \leq x<2 \pi\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica (definida no intervalo (-2\pi,2\pi)\) como mostrado): \[f(x)=\begin{cases} -\pi, & -2\pi<x<-\pi,\\[4pt] x, & -\pi\le x<\pi,\\[4pt] \pi, & \pi\le x<2\pi, \end{cases}
e pede que a expandamos em uma série apropriada de cossenos ou de senos.
Vou listar claramente o que temos e o que se pede:
  • Dados relevantes: valores de f(x)\] em três ramos no intervalo \((-2\pi,2\pi) (mostrados acima).
  • Pedido: obter a expansão em série de Fourier adequada (ou seja, escolher série de cossenos ou de senos) e calcular os coeficientes explicitamente.]

Passo 2

Detectar a simetria de f para escolher entre série de cossenos (par) ou de senos (ímpar).
Verifico f(-x) comparando com f(x):
  • Se 0<x<\pi, então f(x)=x e f(-x)=-x, logo f(-x)=-f(x) nesse trecho.
  • Se \pi<x<2\pi, então f(x)=\pi e f(-x)=-\pi, logo também f(-x)=-f(x) nesse trecho.
    Portanto, para todo x em (-2\pi,2\pi) tem-se f(-x)=-f(x): a função é ímpar.
    Conclusão: a série de Fourier apropriada contém apenas termos de senos (série ímpar) no intervalo simétrico (-L,L) com L=2\pi.

Passo 3

Escrever a forma geral da série ímpar em (-L,L) e a fórmula dos coeficientes. Aqui L=2\pi.
A série de Fourier (sem termo constante e sem cossenos) é
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde, para L=2\pi,
\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right),
e os coeficientes b_n são dados por
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Explicando as variáveis: L é metade do período (aqui L=2\pi), n é o índice dos harmônicos e b_n mede a contribuição do seno de frequência n.
Como f é ímpar e \sin é ímpar, o produto f(x)\sin(\cdot) é par, então a integral do simétrico [-L,L] reduz-se a duas vezes a integral em [0,L]. Assim:
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Substituindo L=2\pi obtemos
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(x)\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx.

Passo 4

Calcular b_n separando o integral conforme os ramos de f em [0,2\pi). Para 0\le x<\pi vale f(x)=x. Para \pi\le x<2\pi vale f(x)=\pi. Logo
b_n=\frac{1}{\pi}\left(\int_{0}^{\pi} x\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx + \int_{\pi}^{2\pi} \pi\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,dx\right).
Para simplificar a notação, introduzo
k=\frac{n}{2},
assim \sin\!\left(\dfrac{n x}{2}\right)=\sin(kx). Vou calcular separadamente
I_1=\int_{0}^{\pi} x\sin(kx)\,dx,\qquad I_2=\int_{\pi}^{2\pi} \pi\sin(kx)\,dx.

Passo 5

Calcular I_1 por partes. Use u=x, dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx e v=-\dfrac{\cos(kx)}{k}. Assim
I_1 = \left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{\pi} + \frac{1}{k}\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx.
Calcule cada termo:
\left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{\pi}=-\frac{\pi\cos(k\pi)}{k}+0,
e
\frac{1}{k}\int_{0}^{\pi}\cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{\pi}=\frac{\sin(k\pi)}{k^2}.
Portanto
I_1=-\frac{\pi\cos(k\pi)}{k} + \frac{\sin(k\pi)}{k^2}.

Passo 6

Calcular I_2. É direto:
I_2=\pi\int_{\pi}^{2\pi}\sin(kx)\,dx=\pi\left[-\frac{\cos(kx)}{k}\right]_{\pi}^{2\pi} =\frac{\pi}{k}\big(\cos(k\pi)-\cos(2k\pi)\big).
Observação: \cos(2k\pi)=\cos(n\pi)=(-1)^n e \cos(k\pi)=\cos\!\left(\tfrac{n\pi}{2}\right). Então
I_2=\frac{\pi}{k}\Big(\cos\!\big(\tfrac{n\pi}{2}\big)-(-1)^n\Big).

Passo 7

Somar I_1+I_2 e simplificar. Usando as expressões:
I_1+I_2 = -\frac{\pi\cos(k\pi)}{k} + \frac{\sin(k\pi)}{k^2} + \frac{\pi}{k}\big(\cos(k\pi)-(-1)^n\big).
Os termos com \cos(k\pi) se cancelam, restando
I_1+I_2 = -\frac{\pi(-1)^n}{k} + \frac{\sin(k\pi)}{k^2}.
Voltando a b_n:
b_n=\frac{1}{\pi}\big(I_1+I_2\big)= -\frac{(-1)^n}{k} + \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\sin(k\pi)}{k^2}.
Substituindo k=\dfrac{n}{2} (logo \dfrac{1}{k}=\dfrac{2}{n} e \dfrac{1}{k^2}=\dfrac{4}{n^2}) e lembrando \sin(k\pi)=\sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right), obtemos
b_n = -\frac{2(-1)^n}{n} + \frac{4}{\pi n^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).

Passo 8

Interpretar e simplificar o coeficiente conforme n par ou ímpar (padrões úteis na prova):
  • Se n é par (escreva n=2m), então \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=\sin(m\pi)=0 e (-1)^n=1. Assim
b_{2m}=-\frac{2\cdot 1}{2m}=-\frac{1}{m}.
O termo correspondente na série é
b_{2m}\sin\!\left(\frac{2m x}{2}\right)= -\frac{1}{m}\sin(mx).
  • Se n é ímpar (escreva n=2m-1), então (-1)^n=-1 e
\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{(2m-1)\pi}{2}\right)=(-1)^{m-1}.
Assim
b_{2m-1}=\frac{2}{2m-1} + \frac{4}{\pi(2m-1)^2}(-1)^{m-1}.

Passo 9

Escrever a série final (forma compacta e também a forma com separação par/ímpar, útil para cálculo prático). Forma compacta:
\boxed{\,f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2(-1)^n}{n}+\frac{4}{\pi n^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right)\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right)\,}
Forma com termos pares e ímpares separados (pode ser mais conveniente ao avaliar truncamentos):
f(x)=\sum_{m=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{m}\right)\sin(mx) +\sum_{m=1}^{\infty}\left(\frac{2}{2m-1}+\frac{4(-1)^{m-1}}{\pi(2m-1)^2}\right)\sin\!\left(\frac{(2m-1)x}{2}\right).

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2(-1)^n}{n}+\frac{4}{\pi n^2}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\right)\sin\!\left(\frac{n x}{2}\right)

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