Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede que se expanda essa função em uma série apropriada de cossenos ou de senos.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
. - O intervalo de interesse é
. - A tarefa: obter a expansão em série (cossenos ou senos) adequada ao intervalo.
Passo 2
Decidir qual tipo de série usar (explicação didática).
- Quando se pede uma série de cossenos ou de senos num intervalo simétrico
, uma boa prática é olhar a paridade de : se for par (isto é, ) usamos a série de cossenos; se for ímpar usamos a série de senos. - Aqui
é par, portanto a expansão por cossenos é apropriada.
Agora escrevo a forma geral da série de Fourier (período) apenas com cossenos:
onde os coeficientes são (fórmulas e significado):
-
é metade do período considerado (aqui ). -
é o coeficiente de termo constante (duas vezes a média no intervalo). - Para
, .
Comoé par, essas integrais reduzem-se a integrais no intervalo com um fator 2:
Passo 3
Aplicar as fórmulas com
. Primeiro o coeficiente
.
Portanto o termo constante da série é
.
Passo 4
Calcular
para
. Usando a expressão para
com
:
pois
.
Agora evaluate a integral
Agora evaluate a integral
Usa-se a identidade produto-para-soma (explica: transforma produto de cossenos em soma de cossenos):
Aplicando com
e
:
Portanto
Cada integral é simples:
. Note que para
ímpar,
. Escrevendo explicitamente:
Usando que
, temos
Substituindo:
Calcule a diferença de frações:
Logo
Portanto
Passo 5
Escrevendo a série completa (substituindo
e
na forma geral):
Breve comentário didático final: a série usa apenas os cossenos
(frequências múltiplas de
) porque o período efetivo escolhido tem
. Os coeficientes foram obtidos por integração usando a paridade de
e a identidade produto-para-soma; na prova, aplicar essas mesmas etapas — identificar paridade, escolher série de cossenos/ senos e calcular as integrais — é o caminho direto.