Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
f(x)=\cos x,-\pi / 2<x<\pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\cos x definida no intervalo -\pi/2<x<\pi/2 e pede que se expanda essa função em uma série apropriada de cossenos ou de senos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\cos x.
  • O intervalo de interesse é -\pi/2<x<\pi/2.
  • A tarefa: obter a expansão em série (cossenos ou senos) adequada ao intervalo.

Passo 2

Decidir qual tipo de série usar (explicação didática).
  • Quando se pede uma série de cossenos ou de senos num intervalo simétrico -L<x<L, uma boa prática é olhar a paridade de f: se f for par (isto é, f(-x)=f(x)) usamos a série de cossenos; se for ímpar usamos a série de senos.
  • Aqui f(x)=\cos x é par, portanto a expansão por cossenos é apropriada.
    Agora escrevo a forma geral da série de Fourier (período 2L) apenas com cossenos:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os coeficientes são (fórmulas e significado):
  • L é metade do período considerado (aqui L=\pi/2).
  • a_0=\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)\,dx é o coeficiente de termo constante (duas vezes a média no intervalo).
  • Para n\ge1, a_n=\dfrac{1}{L}\displaystyle\int_{-L}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
    Como f é par, essas integrais reduzem-se a integrais no intervalo [0,L] com um fator 2:
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.

Passo 3

Aplicar as fórmulas com L=\pi/2. Primeiro o coeficiente a_0.
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx =\frac{2}{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx =\frac{4}{\pi}\big[\sin x\big]_{0}^{\pi/2} =\frac{4}{\pi}\cdot 1 =\frac{4}{\pi}.
Portanto o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{2}{\pi}.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Usando a expressão para a_n com L=\pi/2:
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\cos x\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\frac{4}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx,
pois \dfrac{n\pi}{L}=\dfrac{n\pi}{\pi/2}=2n.
Agora evaluate a integral
I_n=\int_{0}^{\pi/2}\cos x\cos(2n x)\,dx.
Usa-se a identidade produto-para-soma (explica: transforma produto de cossenos em soma de cossenos):
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A+B)+\cos(A-B)\big).
Aplicando com A=x e B=2n x:
\cos x\cos(2n x)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((2n+1)x)+\cos((2n-1)x)\big).
Portanto
I_n=\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos((2n+1)x)\,dx+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos((2n-1)x)\,dx.
Cada integral é simples: \int_{0}^{\pi/2}\cos(kx)\,dx=\dfrac{1}{k}\sin\!\big(k\frac{\pi}{2}\big). Note que para k ímpar, \sin\!\big(k\frac{\pi}{2}\big)=\pm 1. Escrevendo explicitamente:
I_n=\tfrac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\big((2n+1)\frac{\pi}{2}\big)}{2n+1}+\frac{\sin\!\big((2n-1)\frac{\pi}{2}\big)}{2n-1}\right).
Usando que \sin\!\big((2m+1)\frac{\pi}{2}\big)=(-1)^m, temos
\sin\!\big((2n+1)\tfrac{\pi}{2}\big)=(-1)^n,\qquad \sin\!\big((2n-1)\tfrac{\pi}{2}\big)=(-1)^{\,n-1}.
Substituindo:
I_n=\tfrac{1}{2}\left(\frac{(-1)^n}{2n+1}+\frac{(-1)^{\,n-1}}{2n-1}\right) =\frac{(-1)^{\,n-1}}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right).
Calcule a diferença de frações:
\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{2}{(2n-1)(2n+1)}.
Logo
I_n=\frac{(-1)^{\,n-1}}{(2n-1)(2n+1)}.
Portanto
a_n=\frac{4}{\pi}I_n=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{(-1)^{\,n-1}}{(2n-1)(2n+1)} =\frac{4(-1)^{\,n-1}}{\pi(2n-1)(2n+1)}.

Passo 5

Escrevendo a série completa (substituindo a_0/2 e a_n na forma geral):
\cos x=\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{\,n-1}}{\pi(2n-1)(2n+1)}\cos(2n x), \qquad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}.
Breve comentário didático final: a série usa apenas os cossenos \cos(2n x) (frequências múltiplas de 2) porque o período efetivo escolhido tem L=\pi/2. Os coeficientes foram obtidos por integração usando a paridade de f e a identidade produto-para-soma; na prova, aplicar essas mesmas etapas — identificar paridade, escolher série de cossenos/ senos e calcular as integrais — é o caminho direto.

Resposta

\displaystyle \cos x=\frac{2}{\pi}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{\,n-1}}{\pi(2n-1)(2n+1)}\cos(2n x)

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