Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
Passo 1
O enunciado pede: expandir a função
em uma série adequada de cossenos ou de senos no intervalo
.
Informações dadas:
- Função:
definida em . - Período natural que vamos considerar:
(a função é -periódica). - Objetivo: escrever a série de Fourier apropriada — como a função é par (veremos isso) será uma série apenas em cossenos.
Passo 2
Verificação de paridade e escolha do tipo de série.
-
Para
em vale , portanto Ou seja,é uma função par. -
Quando a função é par e tem período
, a série de Fourier contém apenas termos de cosseno: onde os coeficientes são dados porPara função par podemos usar as fórmulas equivalentes (dobrando a integral em):
Passo 3
Cálculo de
.
- Em
tem-se , logo em . - Então
Calcule a integral: Portanto Assim o termo constante na série é .
Passo 4
Cálculo de
(caso geral).
- Para
, - Use a identidade produto-soma:
- Então a integral fica
- Calcule integrais do tipo
para : (Observe que essa fórmula funciona para inteiro , e quando a integral é zero; aqui ou nunca será zero salvo casos especiais que trataremos.)
Passo 5
Simplificação de
e análise de paridade.
- Aplicando a fórmula anterior aos dois termos obtemos
- Note que
. Substituindo e simplificando (detalhes algébricos): (Para a expressão é entendida por limite; efetivamente a integral vale quando .) - Portanto
- Agora use a paridade de
: - Se
for ímpar então e , logo para ímpar. - Se
for par, escreva com . Para temos e
- Se
Passo 6
Escrevendo a série final.
-
Como só há termos pares não nulos, a série ficaSubstituindo
e obtém-se -
Comentário rápido e encorajador: essa é a expansão em série de Fourier uniforme na reta para a função
-periódica dada por . Se precisa decorar para a prova, decore a forma compacta acima; o raciocínio-chave é reconhecer que a função é par (só cossenos) e usar identidade produto-soma para calcular os coeficientes.