Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
f(x)=|\operatorname{sen} x|,-\pi<x<\pi

Passo 1

O enunciado pede: expandir a função f(x)=|\operatorname{sen} x| em uma série adequada de cossenos ou de senos no intervalo -\pi<x<\pi.
Informações dadas:
  • Função: f(x)=|\operatorname{sen} x| definida em -\pi<x<\pi.
  • Período natural que vamos considerar: 2\pi (a função |\operatorname{sen} x| é 2\pi-periódica).
  • Objetivo: escrever a série de Fourier apropriada — como a função é par (veremos isso) será uma série apenas em cossenos.

Passo 2

Verificação de paridade e escolha do tipo de série.
  • Para x em (-\pi,\pi) vale \operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}x, portanto
    |\operatorname{sen}(-x)|=|-\operatorname{sen}x|=|\operatorname{sen}x|.
    Ou seja, f(x)=|\operatorname{sen}x| é uma função par.
  • Quando a função é par e tem período 2\pi, a série de Fourier contém apenas termos de cosseno:
    f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos(nx),
    onde os coeficientes são dados por
    a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\quad(n\ge1).
    Para função par podemos usar as fórmulas equivalentes (dobrando a integral em [0,\pi]):
    a_{0}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\,dx, \qquad a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx.

Passo 3

Cálculo de a_{0}.
  • Em [0,\pi] tem-se \operatorname{sen}x\ge0, logo f(x)=|\operatorname{sen}x|=\operatorname{sen}x em [0,\pi].
  • Então a_{0}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\,dx.Calcule a integral: \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\,dx=[-\cos x]_{0}^{\pi}=-\cos\pi+\cos0=-(-1)+1=2.Portanto a_{0}=\frac{2}{\pi}\cdot 2=\frac{4}{\pi}.Assim o termo constante na série é \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{2}{\pi}.

Passo 4

Cálculo de a_{n} (caso geral).
  • Para n\ge1, a_{n}=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\cos(nx)\,dx.
  • Use a identidade produto-soma: \operatorname{sen}x\cos(nx)=\frac{1}{2}\big(\operatorname{sen}((n+1)x)+\operatorname{sen}((1-n)x)\big).
  • Então a integral fica \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\cos(nx)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}((n+1)x)\,dx +\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}((1-n)x)\,dx.
  • Calcule integrais do tipo \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(m x)\,dx para m\in\mathbb{Z}: \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}(m x)\,dx=\left[-\frac{\cos(mx)}{m}\right]_{0}^{\pi} =\frac{1-(-1)^{m}}{m}.(Observe que essa fórmula funciona para inteiro m, e quando m=0 a integral é zero; aqui m=n+1 ou m=1-n nunca será zero salvo casos especiais que trataremos.)

Passo 5

Simplificação de a_{n} e análise de paridade.
  • Aplicando a fórmula anterior aos dois termos obtemos \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\cos(nx)\,dx =\frac{1}{2}\left(\frac{1-(-1)^{\,n+1}}{n+1}+\frac{1-(-1)^{\,1-n}}{1-n}\right).
  • Note que (-1)^{\,1-n}=-(-1)^{n}. Substituindo e simplificando (detalhes algébricos): \int_{0}^{\pi}\operatorname{sen}x\cos(nx)\,dx =-\frac{1+(-1)^{n}}{n^{2}-1}.(Para n=1 a expressão é entendida por limite; efetivamente a integral vale 0 quando n=1.)
  • Portanto a_{n}=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{1+(-1)^{n}}{n^{2}-1}\right) =-\frac{2\big(1+(-1)^{n}\big)}{\pi(n^{2}-1)}.
  • Agora use a paridade de n:
    • Se n for ímpar então (-1)^{n}=-1 e 1+(-1)^{n}=0, logo a_{n}=0 para n ímpar.
    • Se n for par, escreva n=2k com k\ge1. Para n=2k temos 1+(-1)^{n}=2 e a_{2k}=-\frac{4}{\pi\big((2k)^{2}-1\big)}=-\frac{4}{\pi(4k^{2}-1)}.

Passo 6

Escrevendo a série final.
  • Como só há termos pares não nulos, a série fica
    |\operatorname{sen}x|=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{\infty} a_{2k}\cos(2kx).
    Substituindo a_{0}/2=\dfrac{2}{\pi} e a_{2k}=-\dfrac{4}{\pi(4k^{2}-1)} obtém-se
    |\operatorname{sen}x| =\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2kx)}{4k^{2}-1}.
  • Comentário rápido e encorajador: essa é a expansão em série de Fourier uniforme na reta para a função 2\pi-periódica dada por |\operatorname{sen}x|. Se precisa decorar para a prova, decore a forma compacta acima; o raciocínio-chave é reconhecer que a função é par (só cossenos) e usar identidade produto-soma para calcular os coeficientes.

Resposta

|\operatorname{sen}x|=\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos(2kx)}{4k^{2}-1}.

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