Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a soluçã̃o da equaçăo homogênea associada L(y)=0 for yA=c1 e^5 x cos 3 x+c2 e^5 x sen 3 x.
phi(x)=-23 e^5 x

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular de uma EDO linear de coeficientes constantes na forma L(y)=φ(x), com φ(x)=−23 e^{5x}, sabendo que a solução geral da homogênea é y_h=C_1 e^{5x}cos 3x+C_2 e^{5x}sen 3x. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A equação homogênea associada tem equação característica obtida trocando y↦e^{rx}:
r^2-10r+34=0
Cuja raiz complexa é r=5±3i, o que bate com y_h dado.

Passo 3

Para aplicar coeficientes a determinar, checamos se e^{5x} gera ressonância. Calculamos L(e^{5x}) usando o polinômio característico em r=5:
L(e^5x)=(5^2-10·5+34)e^5x=(25-50+34)e^5x=9e^5x
Como L(e^{5x})≠0, não há ressonância e podemos propor y_p da forma A e^{5x}.

Passo 4

Substituímos y_p=A e^{5x} em L(y)=φ(x). Da conta acima L(A e{5x})=A·9e{5x} e queremos isso igual a −23e^{5x}. Logo:
9A e^5x=-23e^5x
Daí A=-23/9, e ficamos com a solução particular.

Resposta

-tfrac239e^5x

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