Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a soluçã̃o da equaçăo homogênea associada
for
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma solução particular de uma EDO linear de coeficientes constantes na forma L(y)=φ(x), com φ(x)=−23 e^{5x}, sabendo que a solução geral da homogênea é y_h=C_1 e^{5x}cos 3x+C_2 e^{5x}sen 3x. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
A equação homogênea associada tem equação característica obtida trocando y↦e^{rx}:
Cuja raiz complexa é r=5±3i, o que bate com y_h dado.
Passo 3
Para aplicar coeficientes a determinar, checamos se e^{5x} gera ressonância. Calculamos L(e^{5x}) usando o polinômio característico em r=5:
Como L(e^{5x})≠0, não há ressonância e podemos propor y_p da forma A e^{5x}.
Passo 4
Substituímos y_p=A e^{5x} em L(y)=φ(x). Da conta acima L(A e{5x})=A·9e{5x} e queremos isso igual a −23e^{5x}. Logo:
Daí A=-23/9, e ficamos com a solução particular.