Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a soluçã̃o da equaçăo homogênea associada L(y)=0 for yA=c1 e^5 x cos 3 x+c2 e^5 x sen 3 x.
phi(x)=5 cos raiz2 x

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular da equação não homogênea L(y)=ϕ(x), onde ϕ(x)=5
cos(√2
x) e a solução geral da homogênea L(y)=0 é y_A=c₁
e^{5x}
cos
3x+c₂
e^{5x}
sen
3x. O operador é de segunda ordem com coeficientes constantes, logo vamos usar o método de coeficientes indeterminados.

Passo 2

Propomos um palpite do tipo y_p(x)=a
cos(√2
x)+b
sen(√2
x), pois ϕ(x) é combinação de cos(√2
x) e sen(√2
x) e ±
i√2 não são raízes da equação característica r²−10r+34=0.

Passo 3

Calculamos as derivadas de y_p e substituímos em L(y)=y’‘−10
y’+34
y:
yp'=-a√2,sen(√2 x)+b√2,cos(√2 x),
yp''=-2a,cos(√2 x)-2b,sen(√2 x)
Logo, substituindo em L(y) e agrupando termos em cos(√2
x) e sen(√2
x) obtemos:
L(yp)=(32a+10√2,b),cos(√2 x)+(10√2,a+32b),sen(√2 x)
Para igualar a ϕ(x)=5
cos(√2
x)+0·sen(√2
x) formamos o sistema
32a+10√2,b=5,10√2,a+32b=0

Passo 4

Da segunda equação vem b=−(10√2/32)a=−(5√2/16)a. Substituindo na primeira:
32a−254a=5implies103a=20implies a=20103,
b=−5√216cdot20103=−25√2412

Passo 5

Logo uma solução particular é
yp(x)=20103,cos(raiz2,x)-25raiz2412,sin(raiz2,x)

Resposta

y_p(x)=\frac{20}{103}\cos(\sqrt{2}x)-\frac{25\sqrt{2}}{412}\sin(\sqrt{2}x)

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