Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a soluçã̃o da equaçăo homogênea associada
for
.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma solução particular da equação não homogênea L(y)=ϕ(x), onde ϕ(x)=5
cos(√2
x) e a solução geral da homogênea L(y)=0 é y_A=c₁
e^{5x}
cos
3x+c₂
e^{5x}
sen
3x. O operador é de segunda ordem com coeficientes constantes, logo vamos usar o método de coeficientes indeterminados.
cos(√2
x) e a solução geral da homogênea L(y)=0 é y_A=c₁
e^{5x}
cos
3x+c₂
e^{5x}
sen
3x. O operador é de segunda ordem com coeficientes constantes, logo vamos usar o método de coeficientes indeterminados.
Passo 2
Propomos um palpite do tipo y_p(x)=a
cos(√2
x)+b
sen(√2
x), pois ϕ(x) é combinação de cos(√2
x) e sen(√2
x) e ±
i√2 não são raízes da equação característica r²−10r+34=0.
cos(√2
x)+b
sen(√2
x), pois ϕ(x) é combinação de cos(√2
x) e sen(√2
x) e ±
i√2 não são raízes da equação característica r²−10r+34=0.
Passo 3
Calculamos as derivadas de y_p e substituímos em L(y)=y’‘−10
y’+34
y:
y’+34
y:
Logo, substituindo em L(y) e agrupando termos em cos(√2
x) e sen(√2
x) obtemos:
x) e sen(√2
x) obtemos:
Para igualar a ϕ(x)=5
cos(√2
x)+0·sen(√2
x) formamos o sistema
cos(√2
x)+0·sen(√2
x) formamos o sistema
Passo 4
Da segunda equação vem b=−(10√2/32)a=−(5√2/16)a. Substituindo na primeira:
Passo 5
Logo uma solução particular é
Resposta
y_p(x)=\frac{20}{103}\cos(\sqrt{2}x)-\frac{25\sqrt{2}}{412}\sin(\sqrt{2}x)