Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^5xcos3x+c2e^5xsen3x.
phi(x)=xe^3x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar uma solução particular para a EDO linear de coeficientes constantes L(y)=phi(x), com phi(x)=x e^3x, sabendo que a solução geral da homogênea é yh=c1e^5xcos3x+c2e^5xsin3x. O conteúdo é EDOs lineares e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Determinar o operador diferencial explícito: das raízes da equação característica associada, r^2-10r+34=0, obtemos r=5pm3i. Portanto
L(y)=y''-10y'+34y,

Passo 3

Analisar o termo não-homogêneo e escolher o ansatz: como phi(x)=x e^3x e e^3x não é solução da homogênea (3 não é raiz da característica), assumimos
yp=(Ax+B)e^3x

Passo 4

Calcular as derivadas de yp e substituir em L(yp):
yp'=(3Ax+3B+A)e^3x,
yp''=(9Ax+6A+9B)e^3x,
L(yp)=(9Ax+6A+9B-10(3Ax+3B+A)+34(Ax+B))e^3x=(13A x+(-4A+13B))e^3x

Passo 5

Igualar L(yp) a phi(x)=x e^3x e resolver o sistema
13A=1,
-4A+13B=0
Dessa forma obtém-se A=1/13 e B=4/169.

Resposta

Uma forma de solução particular é yp=l(x13+4169r)e^3x

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