Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
A gente tem uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e a parte homogênea já resolvida: as raízes do polinômio característico são 5±3i, então o operador é L(y)=y’‘−10y’+34y, e a parte não-homogênea é ϕ(x)=31e^{−x}cos3x. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para essa ϕ(x), propomos uma forma de solução particular do tipo y_p(x)=e^{−x}(A
coss3x + B
sin3x). Como e^{−x}cos3x e e^{−x}sin3x não pertencem ao espaço das soluções homogêneas (que envolvem e^{5x}), não precisamos multiplicar por x.
coss3x + B
sin3x). Como e^{−x}cos3x e e^{−x}sin3x não pertencem ao espaço das soluções homogêneas (que envolvem e^{5x}), não precisamos multiplicar por x.
Passo 3
Agora calculamos y_p’, y_p’’ e substituímos em L(y_p)=y_p’‘−10y_p’+34y_p. Após fatorar e^{−x}, obtemos o sistema para os coeficientes de cos3x e sin3x:
Equacionando com 31e^{−x}cos3x, chegamos ao sistema
Equacionando com 31e^{−x}cos3x, chegamos ao sistema
Passo 4
Resolvendo esse sistema, vem A=31/72 e B=−31/72.