Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^5xcos3x+c2e^5xsen3x.
phi(x)=31e^-xcos3x

Passo 1

A gente tem uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e a parte homogênea já resolvida: as raízes do polinômio característico são 5±3i, então o operador é L(y)=y’‘−10y’+34y, e a parte não-homogênea é ϕ(x)=31e^{−x}cos3x. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para essa ϕ(x), propomos uma forma de solução particular do tipo y_p(x)=e^{−x}(A
coss3x + B
sin3x). Como e^{−x}cos3x e e^{−x}sin3x não pertencem ao espaço das soluções homogêneas (que envolvem e^{5x}), não precisamos multiplicar por x.

Passo 3

Agora calculamos y_p’, y_p’’ e substituímos em L(y_p)=y_p’‘−10y_p’+34y_p. Após fatorar e^{−x}, obtemos o sistema para os coeficientes de cos3x e sin3x:
Equacionando com 31e^{−x}cos3x, chegamos ao sistema
36A - 36B = 31, 36A + 36B = 0

Passo 4

Resolvendo esse sistema, vem A=31/72 e B=−31/72.

Resposta

yp(x)=3172e^-x(cos3x-sin3x)

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