Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^5xcos3x+c2e^5xsen3x.
phi(x)=2sen4x-cos7x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes cuja solução homogênea é
yh = c1 e^5xcos(3x) + c2 e^5xsin(3x). Queremos achar uma solução particular para
L(y)=phi(x) com phi(x)=2sin(4x)-cos(7x). Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados. A partir de yh vemos que o polinômio característico é
r^2-10r+34=0, logo
L(y)=y''-10y'+34y

Passo 2

Por linearidade escrevemos a solução particular como
yp = yp1 + yp2,
onde yp1 atende a 2sin(4x) e yp2 atende a -cos(7x). Como as raízes imaginárias ±4i e ±7i não anulam o característico, não há ressonância. Então propomos
yp1 = Acos(4x) + Bsin(4x), yp2 = Ccos(7x) + Dsin(7x)

Passo 3

Para achar A e B calculamos
yp1' = -4Asin(4x) + 4Bcos(4x), yp1'' = -16Acos(4x) -16Bsin(4x)
Substituindo em L(yp1)=yp1''-10yp1'+34yp1 e igualando a 2sin(4x) gera o sistema
18A - 40B = 0, 40A + 18B = 2,
cuja solução é
A = 20481, B = 9481

Passo 4

Para achar C e D calculamos
yp2' = -7Csin(7x) + 7Dcos(7x), yp2'' = -49Ccos(7x) -49Dsin(7x)
Substituindo em L(yp2) e igualando a -cos(7x) gera
-15C - 70D = -1, 70C - 15D = 0,
cuja solução é
C = 31025, D = 141025

Passo 5

Somando os dois resultados obtemos a solução particular completa:
yp = 20481cos(4x) + 9481sin(4x) + 31025cos(7x) + 141025sin(7x)

Resposta

y_p = \frac{20}{481}\cos(4x) + \frac{9}{481}\sin(4x) + \frac{3}{1025}\cos(7x) + \frac{14}{1025}\sin(7x)

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