Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada, se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^5xcos3x+c2e^5xsen3x.
phi(x)=-16e^5xcos3x

Passo 1

O enunciado pede pra achar uma solução particular de uma EDO não-homogênea L(y)=φ(x), em que φ(x)=−\tfrac16e^{5x}\cos3x, sabendo que a solução geral da homogênea é y_h=c_1e{5x}\cos3x+c_2e{5x}\sin3x. O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados com caso de ressonância, e vamos precisar escrever o operador L a partir das raízes complexas 5±3i e usar a forma e^{5x}f(x) pra simplificar.

Passo 2

A partir de y_h vemos que o polinômio característico é r^2−10r+34=0, então a equação original pode ser escrita como
y''−10y'+34y=φ(x)
Esse operador L será aplicado ao nosso palpite de y_p.

Passo 3

Como forçar e^{5x} facilita a conta, fazemos y_p=e^{5x}f(x) e notar que
L(e^5xf)=y''−10y'+34y=e^5xl(f''+9fr)
Essa identidade reduzir f’’+9f=φ(x)e^{−5x}.

Passo 4

Devido à ressonância (φ tem o mesmo e^{5x}\cos3x da homogênea), propomos
$$f(x)=x\bigl(A\cos3x+B\sin3x\bigr).
$$
Isso já inclui o fator x por ser multiplicidade 1.

Passo 5

Calculamos f’, f’’ e montamos f’’+9f. Dá
f''+9f=6Bcos3x−6Asin3x
Como queremos L(y_p)=φ significa f’’+9f=−\tfrac16\cos3x, igualamos coeficientes: 6B=−\tfrac16 e −6A=0.

Passo 6

Das igualdades vem A=0 e B=−\tfrac1{36}. Logo
$$y_p=e{5x}f(x)=e{5x}x\bigl(0\cdot\cos3x−\tfrac1{36}\sin3x\bigr)=-\tfrac1{36}x e^{5x}\sin3x.
$$

Resposta

A solução particular é y_p(x) = -\tfrac{1}{36} x e^{5x} \sin(3x).

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