Nos Problemas 11.27 a 11.36, determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
O enunciado pede pra achar uma solução particular de uma EDO não-homogênea L(y)=φ(x), em que φ(x)=−\tfrac16e^{5x}\cos3x, sabendo que a solução geral da homogênea é y_h=c_1e{5x}\cos3x+c_2e{5x}\sin3x. O conteúdo é o método dos coeficientes indeterminados com caso de ressonância, e vamos precisar escrever o operador L a partir das raízes complexas 5±3i e usar a forma e^{5x}f(x) pra simplificar.
Passo 2
A partir de y_h vemos que o polinômio característico é r^2−10r+34=0, então a equação original pode ser escrita como
Esse operador L será aplicado ao nosso palpite de y_p.
Passo 3
Como forçar e^{5x} facilita a conta, fazemos y_p=e^{5x}f(x) e notar que
Essa identidade reduzir f’’+9f=φ(x)e^{−5x}.
Passo 4
Devido à ressonância (φ tem o mesmo e^{5x}\cos3x da homogênea), propomos
$$f(x)=x\bigl(A\cos3x+B\sin3x\bigr).
$$
Isso já inclui o fator x por ser multiplicidade 1.
Isso já inclui o fator x por ser multiplicidade 1.
Passo 5
Calculamos f’, f’’ e montamos f’’+9f. Dá
Como queremos L(y_p)=φ significa f’’+9f=−\tfrac16\cos3x, igualamos coeficientes: 6B=−\tfrac16 e −6A=0.
Passo 6
Das igualdades vem A=0 e B=−\tfrac1{36}. Logo
$$y_p=e{5x}f(x)=e{5x}x\bigl(0\cdot\cos3x−\tfrac1{36}\sin3x\bigr)=-\tfrac1{36}x e^{5x}\sin3x.
$$
Resposta
A solução particular é y_p(x) = -\tfrac{1}{36} x e^{5x} \sin(3x).