Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x)=phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x)=0 for xh=c1+c2e^t+c3te^t.
phi(t)=t

Passo 1

Primeiro, o exercício pede que a gente encontre a forma de uma solução particular de L(x)=phi(t) com phi(t)=t, sabendo que a solução geral da homogênea é xh=c1+c2e^t+c3te^t. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados e observar as raízes do polinômio característico: r=0 (simples) e r=1 (dupla).

Passo 2

Como phi(t)=t é um polinômio de grau 1, o chute inicial seria xp=At+B. No método dos coeficientes indeterminados, a gente escolhe um polinômio de mesmo grau da não-homogênea.

Passo 3

Perceba que xh já contém a solução constante (devido à raiz r=0), então o termo B conflita. Para resolver, multiplicamos o chute por t, obtendo
xp(t)=t(At+B)=A t^2+Bt
Essa é a forma final do palpite para a solução particular.

Resposta

A forma de uma solução particular é xp(t)=At^2+Bt.

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