Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x)=phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x)=0 for xh=c1+c2 e^prime+c3 t e^prime.
phi(t)=t

Passo 1

O enunciado pede para achar uma solução particular de uma EDO linear de terceira ordem L(x)=phi(t) com phi(t)=t, sabendo que a solução geral da homogênea é xh=c1+c2e^t+c3te^t. Isso indica que o operador L tem fatoração D(D-1)^2, ou seja, a equação é x'''-2x''+x'=t.

Passo 2

Como phi(t)=t é um polinômio de grau 1 e o núcleo homogêneo já contém o termo constante (multiplicidade 1 em r=0), usamos o método dos coeficientes indeterminados multiplicando o palpite por t. Assim, propomos
xp(t)=At^2+Bt,
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de xp:
xp'=2At+B,
xp''=2A,
xp'''=0

Passo 4

Substituindo em x'''-2x''+x' igual a t:
0-2(2A)+(2At+B)=2At+(B-4A)=t

Passo 5

Igualando coeficientes de t e do termo constante:
2A=1implies A=tfrac12,
B-4A=0implies B=2

Resposta

Uma solução particular é xp(t)=tfrac12t^2+2t

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