Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x)=phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x)=0 for xh=c1+c2 e^prime+c3 t e^prime.
phi(t)=t e^-2 t+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a forma de uma solução particular de uma EDO linear de 3ª ordem com coeficientes constantes: L(x)=phi(t), em que phi(t)=t e^-2t+3. A solução geral da homogênea é xh=c1+c2e^-2t+c3te^-2t. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Separamos o termo forçante em duas parcelas: t e^-2t e 3. Cada uma gerará uma parte candidata à solução particular.

Passo 3

Para t e^-2t: aqui o fator e^-2t corresponde a uma raiz r=-2 de multiplicidade 2 na equação característica (pois aparecem e^-2t e te^-2t na homogênea). O polinômio multiplicador é de grau 1 (pois é t). Pelo método, multiplicamos por t^2. Assim a parte da solução particular será da forma:
xp1(t)=t^2l(A t+Br)e^-2t=l(A t^3+B t^2r)e^-2t

Passo 4

Para a constante 3: ela corresponde a um polinômio de grau 0 e a raiz r=0 aparece uma vez na homogênea ( c1). Multiplicamos por t^1. Logo a parte será
xp2(t)=C t

Passo 5

Somando as duas partes, obtemos a forma geral da solução particular.

Resposta

xp(t)=l(A t^3+B t^2r)e^-2t+C t

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