Nos Problemas 11.37 a 11.43, determine a forma de uma solução particular de L(x)=phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x)=0 for xh=c1+c2 e^prime+c3 t e^prime.
phi(t)=t e^2 t cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede que a gente ache uma solução particular da EDO linear com operador L=D^3-2D^2+D, sabendo que a solução homogênea é xh=c1+c2e^t+c3te^t, e o termo não‐homogêneo é (\phi(t)=t e^{2t}\cos3t. O conteúdo é Método de Coeficientes Indeterminados e uso da propriedade de deslocamento do operador.

Passo 2

Como o forçamento é do tipo polinômio de grau 1 vezes e^2tcos3t, e a raiz complexa 2+3i NÃO é raiz do polinômio característico (que tem raízes 0 e 1 dupla), escolhemos o ansatz
yp = e^2tl((At+B)cos3t + (Ct+D)sin3tr)

Passo 3

Para simplificar os cálculos, usamos a propriedade
Ll(e^2tf(t)r)=e^2t,lL(D+2)f(t)r
Calculamos
L(D+2)= (D+2)^3-2(D+2)^2+(D+2)=D^3+4D^2+5D+2

Passo 4

Definimos f(t)=P(t)cos3t+Q(t)sin3t com P(t)=At+B e Q(t)=Ct+D. Em seguida calculamos sucessivamente
f',f'',f''' e montamos
f'''+4f''+5f'+2f = tcos3t,
pois queremos L(yp)=t e^2tcos3t.

Passo 5

Expandindo e agrupando termos em tcos3t,cos3t,tsin3t,sin3t, obtemos um sistema de quatro equações lineares para A,B,C,D.

Passo 6

Resolvendo esse sistema dá
A=-17650, B=6742250, C=-3325, D=52821125

Resposta

Uma solução particular é
yp = e^2tl(l(-17650t + 6742250r)cos3t + l(-3325t + 52821125r)sin3tr)

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